Um dado honesto é jogado sucessivamente. Suponha que X e Y representem, respectivamente, o número de jogadas necessárias para se obter um 6 e um 5.

Determine:

(a) E[X];

(b) E[X|Y = 1];

(C) E[X|Y = 5];

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Como o nosso problema gira em torno do número de tentativas necessárias até obter sucesso (tirar 6 e 5), temos o que se trata de uma distribuição geométrica.

Vamos definí-la como: X ~ G e o m é t r i c a ( 1 / 6 )

uma vez que para cada lançamento a chance de obter o número desejado é 1 em 6, ou seja, p =   1 6 .

a) Numa distribuição geométrica, temos que o valor esperado é dado por: E [ X ] =   1 p logo:

E [ X ] =   1 1 6   =   6  

b) Nos é dado que Y = 1, isso significa que foi obtido o número 5 no primeiro lançamento. Como isso é um evento certo, em que não houve erros anteriormente, então: E [ Y ] =   1 , assim:

E [ X | Y = 1 ] =   E [ X ]   +   E [ Y ]   =   6   +   1   =   7

c) Nos é dado que Y = 5, isso significa que foi obtido o número 5 no quinto lançamento e não foi obtido em nenhum dos quatro lançamentos anteriores, ou seja, houveram 4 falhas antes do erro. Como temos que considerar a probabilidade das falhas, iremos usar a lei da esperança total. Logo:

E Y = 5 X =   ∑ i = i 4 E Y = 5 X X = i . P Y = 5 ( X = i ) +   E Y = 5 X X > 5 . P Y = 5 ( X > 5 )

Calculando cada termo da expressão temos:

E Y = 5 X =   ∑ i = i 4 i . 4 6 i - 1 . 1 6 +   . 4 6 4 . 5 + 6 =   161 54

Resposta

(a) E[X] = 6

(b) E[X|Y = 1] = 7

(C) E[X|Y = 5] = 161 54