Um dado honesto é jogado sucessivamente. Suponha que X e Y representem, respectivamente, o número de jogadas necessárias para se obter um 6 e um 5.
Determine:
(a) E[X];
(b) E[X|Y = 1];
(C) E[X|Y = 5];
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Como o nosso problema gira em torno do número de tentativas necessárias até obter sucesso (tirar 6 e 5), temos o que se trata de uma distribuição geométrica.
Vamos definí-la como:
uma vez que para cada lançamento a chance de obter o número desejado é 1 em 6, ou seja, .
a) Numa distribuição geométrica, temos que o valor esperado é dado por: logo:
b) Nos é dado que Y = 1, isso significa que foi obtido o número 5 no primeiro lançamento. Como isso é um evento certo, em que não houve erros anteriormente, então: , assim:
c) Nos é dado que Y = 5, isso significa que foi obtido o número 5 no quinto lançamento e não foi obtido em nenhum dos quatro lançamentos anteriores, ou seja, houveram 4 falhas antes do erro. Como temos que considerar a probabilidade das falhas, iremos usar a lei da esperança total. Logo:
Calculando cada termo da expressão temos:
Resposta
(a) E[X] = 6
(b) E[X|Y = 1] = 7
(C) E[X|Y = 5] =