Se um dado é jogado até que todos as suas faces tenham aparecido pelo menos uma vez, determine o número esperado de vezes que o resultado 1 aparece.

Passo 1

Vamos começar a resolver esse exercício que não é tão difícil assim. Primeiro nós sabemos que a probabilidade de um dos lados de um dado sair é de 1 6 . Agora vamos imaginar que o X seja o número de rolagens, sendo assim X i   é a variável aleatória que mostra o número de rolagens até que todos os números apareçam. Se supormos que i faces já apareceram, vamos ter então que

X = 1 +   X 1 +   X 2 +   X 3 +   X 4 +   X 5

Note que no primeiro lance, nós podemos obter qualquer lado, afinal não saiu nenhum ainda. Já no segundo pode sair qualquer um menos o primeiro, ou seja a probabilidade do X 1 =   5 6 , do X 2 =   4 6 , X 3 =   3 6 , X 4 =   2 6 e X 5 =   1 6

Passo 2

Logo

E X = 1 +   ∑ i = 1 5 E ( X i ) =   1 +   ∑ i = 1 5 1 p i = 1 + 6 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 5 = 14,7

Esse é o valor esperado de lançamentos para que todas as faces apareçam pelo menos uma vez.

Passo 3

Agora precisamos definir a variável indicadora I j , onde j = 1,2,3,...,X

I j =   1   ,   c a s o   E 1   a p a r e ç a 0 ,   c a s o   E 1   n ã o   a p a r e ç a

Onde E 1 nada mais é que a aparição do 1

A probabilidade que o E 1 apareça é P E 1 = p

O número esperado que o resultado 1 apareça é

E ∑ j = 1 X I j = E E ∑ j = 1 X I j | X = E X P ( E 1 )

Note que P E 1 = p

Então

= p E X

E nós já sabemos esses dois valores p =   1 6 e E(X) = 14,7

Logo temos que o valor esperado de lances até que o lado 1 apareça é de 2.45

Resposta

2,45 lançamentos