Se um dado é jogado até que todos as suas faces tenham aparecido pelo menos uma vez, determine o número esperado de vezes que o resultado 1 aparece.
Passo 1
Vamos começar a resolver esse exercício que não é tão difícil assim. Primeiro nós sabemos que a probabilidade de um dos lados de um dado sair é de . Agora vamos imaginar que o X seja o número de rolagens, sendo assim é a variável aleatória que mostra o número de rolagens até que todos os números apareçam. Se supormos que i faces já apareceram, vamos ter então que
Note que no primeiro lance, nós podemos obter qualquer lado, afinal não saiu nenhum ainda. Já no segundo pode sair qualquer um menos o primeiro, ou seja a probabilidade do , do , , e
Passo 2
Logo
Esse é o valor esperado de lançamentos para que todas as faces apareçam pelo menos uma vez.
Passo 3
Agora precisamos definir a variável indicadora , onde j = 1,2,3,...,X
Onde nada mais é que a aparição do 1
A probabilidade que o apareça é
O número esperado que o resultado 1 apareça é
Note que
Então
E nós já sabemos esses dois valores e E(X) = 14,7
Logo temos que o valor esperado de lances até que o lado 1 apareça é de 2.45
Resposta
2,45 lançamentos