Para o delineamento do quadrado latino r × r , mostre que

E ( S Q T r ) = ( r - 1 ) σ 2 + r ∑ k   τ k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

No design quadrado latino, há r linhas, r colunas e r tratamentos. O modelo matemático linear para o design de quadrados latinos é

y i j k = μ + α i + β j + τ k + ϵ i j k i = 1,2 , … . r ; j = 1,2 , … . . r →  (1) 

Aplicamos 1 r ∑ i   ∑ j   toda a equação (1)

y i j k = μ + α i + β j + τ k + ϵ i j k i = 1,2 , … … , r ; j = 1,2 , … … , r - - - - - → ( 1 ) ⇒ 1 r ∑ i     ∑ j     y i j k = 1 r ∑ i     ∑ j     μ + 1 r ∑ i     ∑ j     α i + 1 r ∑ i     ∑ j     β j + 1 r ∑ i     ∑ j     τ k + 1 r ∑ i     ∑ j     ϵ i j k ⇒ y ‾ ⋅ k = μ + 1 r ∑ i     ∑ j     τ k + ϵ ‾ k ⇒ y ‾ k k = μ + τ k + ϵ ‾ k → ( 2 )

Passo 2

Aplicamos 1 r 2 ∑ i   ∑ j   ∑ k   na equação (1)

1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     y j j k = 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     μ + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     α i + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     β j   + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     τ k + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     ϵ i j k y ‾ … . = μ + 1 r ∑ j     ∑ k     α i + 1 r ∑ i     ∑ j     β j + 1 r ∑ i     ∑ j     τ k + ϵ ‾ … y ‾ … . = μ + ϵ ‾ ∵ ∑ i = 1 k     α i = 0 , ∑ j = 1 b     β j = 0 → ( 3 )

Passo 3

Dado ϵ i j k = N 0 , σ 2

⇒ E ϵ i j k = 0   e   V a r ⁡ ϵ i j k = σ 2

De V a r ⁡ ϵ i j k = σ 2 ,

E ϵ i j k 2 - E ϵ i j k 2 = σ 2   ⇒   E ϵ i j k   2 = σ 2 - … - → ( 4 )

Passo 4

Sabemos que ϵ ‾ k = N 0 , σ 2 r

⇒ E ϵ ‾ ϵ = 0   e   V a r ⁡ ϵ ‾ k = σ 2 r

De V a r ⁡ ϵ ‾ k = σ 2 r ,

  ⇒   E ϵ ‾ k 2 = σ 2 r - ⋯ - → ( 5 )

Sabemos que ϵ ‾ . . . N 0 , σ 2 r 2

⇒ E ( ϵ ‾ . . ) = 0   e   V a r ⁡ ( ϵ ‾ . ) = σ 2 r 2

De V a r ⁡ ( ϵ ‾ … ) = σ 2 r 2 ,

E ϵ ‾ 2 - E ϵ ‾ … 2 = σ 2 r 2   ⇒   E ϵ 2 = σ 2 r 2 - ⋯ → ( 6 )

Resposta

Resposta nos passos.