Demonstre que E [g (X) Y,X] = g (X) E [ Y | X ] .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Por causa da clareza, suponha que X e Y sejam variáveis ​​aleatórias contínuas com suas funções de densidade. Pegando qualquer x in s u p ( f_X ) , nós temos que

E (g (X) Y,X = x) = int int_(R^2)^() g (x) y f_(X , Y) | X = x (x , y) d x d y

Com isso, nós temos que

f_(X , Y) | X = x = (x , y) d x d y = f_Y | X (y,x) d y

Então a integral se torna

int_R^() g (x) y f_Y | X (y,x) d y

Passo 2

A integral é igual a

g (X) E (Y,X = x)

Desde que a relação para todo x in sup f , nós terminamos como

E (g (X) Y,X) = g (X) E ( Y | X )

Portanto, conseguimos provar o que nos foi pedido

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)