Enunciado

Demonstre ou dê um contraexemplo. Se E1 e E2 são eventos independentes, então eles são condicionalmente independentes dado F.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos discutir mais sobre a independência entre dois eventos.

A proposição do enunciado é falsa, vamos dar um contra exemplo utilizando dados:

Vamos rolar dois dados de 6 lados cada.

Eventos:

E 1 = Numero do primeiro dado é 1 ;

E 2 = número no segundo dado é 4 ;

F =   A soma dos números dos dois dados é 5.

Passo 2

Vamos calcular cada uma das probabilidades:

P E 1 = 1 6

P E 2 = 1 6

A probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo:

P E 1 E 2 = 1 36

A probabilidade de F ocorrer é ( 1 + 4 ,   2 + 3 ,   3 + 2 ,   4 + 1 ) 4 possibilidades:

P F = 4 36 = 1 9

Passo 3

Agora calculando as probabilidades condicionais:

P E 1 / F = 1 36 1 9 = 1 4

E:

P F / ( E 2 E 1 ) = 1 / 36 1 / 36 = 1  

Como P E 1 / F ≠ P F / ( E 2 E 1 ) então eles não são condicionalmente independentes dado F.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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