Enunciado

Demonstre a desigualdade de Boole:

P (uuu_(i = 1)^(oo) A_i) <= sum_(i = 1)^(oo) P ( A_i )

Passo 1

Para você, é mais fácil provar a desigualdade ou a igualdade? Humm! É claro que é mais fácil provar a igualdade. Sendo assim, primeiro vamos provar a igualdade.

Passo 2

Prova da Igualdade:

Se os A_i são disjuntos para i != j , então pelo A x i o m a 3 temos,

P (uuu_(i = 1)^(oo) A_i) = sum_(i = 1)^(oo) A_i

Passo 3

Prova da desigualdade:

Agora vamos supor que existe pelo menos A_i nn A_j != O/ para alguns i != j . Se são só dois conjuntos, sabemos pela P r o p o s i ç ã o 4.3 que

P (A_i uu A_j) = P (A_i) + P (A_j) - P ( A_i A_j )

Logo, o lado esquerdo terá todas as somas das parcelas que o lado direito tem, menos a probabilidade da interseção dos dois conjuntos não disjuntos. E se agora existe mais de que dois conjuntos cujas interseções dois a dois não é vazia, então pela P r o p o s i ç ã o 4.4 , chegaremos a mesma conclusão que chegamos no caso de existir só dois conjuntos não disjuntos. Isto prova a nossa demonstração.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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