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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 24

Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwartz:

E X Y 2 ≤ E X 2 E Y 2

Dica: A menos que Y = - t X para alguma constante, caso no qual a desigualdade se torna uma igualdade, tem-se que, para todo t ,

0 < E t X + Y 2 = E X 2 t 2 + 2 E X Y t + E [ Y 2 ]

Portanto, as raízes da equação quadrática

E X 2 t 2 + 2 E X Y t + E Y 2 = 0

Devem ser imaginárias, o que implica o discriminante desta equação deve ser negativo.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos assumir que E Y 2 ≠ 0 , caso contrário, nós temos Y = 0 com probabilidade 1, e portanto, E X Y = 0 , então a inequação continua, com isso, nós temos que

0 ≤ E X - E X Y E Y 2 Y 2

Expandindo o termo, nós temos que

0 ≤ E X - E X Y E Y 2 Y 2 = E X 2 - 2 E X Y E Y 2 X Y + E X Y 2 E Y 2 2 Y 2  

Passo 2

Logo, fazendo algumas manipulações, nós temos que

E X 2 - 2 E X Y E Y 2 E X Y + E X Y 2 E Y 2 2 E Y 2

Com isso, nós temos que

E X 2 - E X Y E Y 2 → E X Y 2 ≤ E X 2 E [ Y 2 ]

E com isso, provamos a desigualdade!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)