Demonstre a Proposição 2.1 quando

(a) X e Y possuem função de probabilidade conjunta;

(b) X e Y possuem função densidade de probabilidade conjunta e g(x, y) ≥ 0 para todo x, y.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Vamos definir A e B como conjuntos discretos que assumem os valores de X e Y, respectivamente. Assim, a variável aleatória g(X,Y) assume valores em g(A,B). Então, o valor esperado é:

E g X , Y =   ∑ z ∈ ( A , B ) z P ( g X , Y = z )

Agora observe que todo z ∈ ( A , B ) tem o formato z = g(x,y) onde x ∈ A e y ∈ B. Também temos que:

P g X , Y = z = P g X , Y = g x , y = P X , Y = x , y = p ( x , y )

Então temos que:

E g X , Y =   ∑ z ∈ ( A , B ) z P ( g X , Y = z ) = ∑ x , y g x , y . p ( x , y )

Passo 2

(b) Vamos definir Z = g(X,Y). Usando o fato que o valor esperado de uma variável aleatória pode ser escrito como integral, temos que a integral para P(Z>t) é dada por:

E g X , Y =   ∫ 0 ∞ P Z > t d t

Temos ainda que:

P Z > t = P ( g X , Y > t ) =   ∬ g x , y > t   f x , y d x d y

O que significa que o valor esperado é dado por

E g X , Y =   ∫ 0 ∞   ∬ g x , y > t   f x , y d x d y d t

Mudando a ordem de integração temos que

E g X , Y =   ∬ x , y   ∫ 0 g ( x , y ) f x , y d t d x d y = ∬ x , y   g x , y . f x , y d x d y

Resposta

(a) E g X , Y = ∑ x , y g x , y . p ( x , y )

(b)

E g X , Y =   ∬ x , y   g x , y . f x , y d x d y