Demonstre a Proposição 2.1 quando
(a) X e Y possuem função de probabilidade conjunta;
(b) X e Y possuem função densidade de probabilidade conjunta e g(x, y) ≥ 0 para todo x, y.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
(a) Vamos definir A e B como conjuntos discretos que assumem os valores de X e Y, respectivamente. Assim, a variável aleatória g(X,Y) assume valores em g(A,B). Então, o valor esperado é:
Agora observe que todo tem o formato z = g(x,y) onde x ∈ A e y ∈ B. Também temos que:
Então temos que:
Passo 2
(b) Vamos definir Z = g(X,Y). Usando o fato que o valor esperado de uma variável aleatória pode ser escrito como integral, temos que a integral para P(Z>t) é dada por:
Temos ainda que:
O que significa que o valor esperado é dado por
Mudando a ordem de integração temos que
Resposta
(a)
(b)