Demonstre que, se E Y X = x = E [ Y ] para todo x, então X e Y são não correlacionados, forneça um contraexemplo para mostrar que o inverso não é verdade. Dica: Demonstre e use o fato de que E X Y = E X E Y X

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos encontrar a covariância entre X e Y , nós temos que

C o v X , Y = E X Y - E X E ( Y )

Desde que nós temos que E Y X = x = E ( Y ) para todos os termos de x , nós temos que

E Y X = E ( Y )

O que implica em

E X Y = E E X Y X = E X E Y X

Com isso, nós temos que

E X Y = E X E Y = E X E ( Y )

Portanto,

C o v X , Y = 0

Passo 2

Agora, vamos desaprovar o inverso. Considere a variável aleatória X   ~ N ( 0,1 ) e definindo Y = X 2 , nós temos que

C o v X , Y = C o v X , X 2 = E X 3 - E X E ( X 2 )

Observe que X 3 será simétrico em torno do zero, logo, E X 3 = 0 . Finalmente, nós podemos observar que C o v X , Y = 0 , entretanto, nós temos que

E Y X = E X 2 X = X 2

O que obviamente não é igual a E Y = E ( X 2 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)