A densidade conjunta de X e Y é

f x , y = c x 2 - y 2 e x ;     0 ≤ x < - ∞ ,   - x ≤ y ≤ ∞

Determine a distribuição condicional de Y, dado que X = x.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos encontrar a densidade de X . Para x > 0 , nós algo basicamente desse tipo aqui

f X x = ∫ - x x f x , y   d y

Vamos agora substituir o f ( x , y )

f X x = ∫ - x x c x 2 - y 2 e x   d y

O resultado dessa integral é igual a:

f X x = c e - x ( y x 2 - y 3 3 ) y = - x y = x = 4 c x 3 e - x 3

Passo 2

Agora, a distribuição de Y quando X = x é

f Y | X y x = f x , y f X x

Substituindo os valores, nós temos que

f Y | X y x = c x 2 - y 2 e - x 4 c x 3 e - x 3 = 3 4 ∙ x 2 - y 2 x 3

Resposta

f Y | X y x =   3 4 ∙ x 2 - y 2 x 3