A densidade conjunta de X e Y é dada por

f x , y = 1 2 π   e - y e - x - y 2 2               0 < y < ∞ ,           - ∞ < x < ∞

(a) Calcule a função geratriz de momentos conjunta de X e Y.

(b) Calcule as funções geratrizes de momentos individuais.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Olhando mais de perto, vemos que o conjunto das funções de probabilidade de X e Y podem ser escritos como:

f x , y = 1 2 π   ⋅ e - x - y 2 2 ⋅ e - y = f X Y ( x y ) ⋅ f Y ( y )

Onde podemos interpretar Y como uma distribuição exponencial com parâmetro 1 e X como uma distribuição normal de média Y e variância 1. Ou seja,

Y ~ E x p o n e n c i a l 1     e       X Y ~ N o r m a l ( Y , 1 )

(a) Usando a lei do valor esperado total, temos que:

E e t X + s Y = E E e t X + s Y Y = E ( e s Y E e t X Y )

Onde sabemos que:

E e t X Y = e t Y + t 2 2

O que implica que:

E e s Y E e t X Y = E e s Y ⋅ e t Y + t 2 2 =   e t 2 2 ⋅ E ( e s + t Y )

E e s Y E e t X Y =   e t 2 2 ⋅ M Y s + t = e t 2 2 1 - s + t  

Passo 2

(b) Se fizermos s = 0 temos que a função geratriz de momento de X é dada por:

M X t = E e t X + s Y │ s = 0 = e t 2 2 1 - s + t │ s = 0   = e t 2 2 1 - t

De modo semelhante, se fizermos t = 0 na função geratriz de momento de T teremos que:

M Y s = E e t X + s Y │ t = 0 = e t 2 2 1 - s + t │ t = 0   = 1 1 - s

O que era esperado já que Y é uma distribuição exponencial.

Resposta

(a) E e s Y E e t X Y =   e t 2 2 1 - s + t

(b) M X t = e t 2 2 1 - t                 e             M Y s = 1 1 - s