A densidade conjunta de X e Y é dada por
(a) Calcule a função geratriz de momentos conjunta de X e Y.
(b) Calcule as funções geratrizes de momentos individuais.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Olhando mais de perto, vemos que o conjunto das funções de probabilidade de X e Y podem ser escritos como:
Onde podemos interpretar Y como uma distribuição exponencial com parâmetro 1 e X como uma distribuição normal de média Y e variância 1. Ou seja,
(a) Usando a lei do valor esperado total, temos que:
Onde sabemos que:
O que implica que:
Passo 2
(b) Se fizermos s = 0 temos que a função geratriz de momento de X é dada por:
De modo semelhante, se fizermos t = 0 na função geratriz de momento de T teremos que:
O que era esperado já que Y é uma distribuição exponencial.
Resposta
(a)
(b)