Enunciado

A densidade conjunta de X e Y é dada por

f x , y = C y - x . e - y                 - y < x < y ,           0 < y < ∞

  1. São X e Y independentes?
  2. Determine a função densidade de X.
  3. Determine a função densidade de Y.
  4. Determine a função distribuição conjunta.
  5. Determine E[Y].
  6. Determine P{ X + Y

Passo 1

E aí..... Tudo Beleza? Bora para o exercício =)

Para resolver este problema devemos considerar a identidade ∫ 0 ∞ e - x x n d x = n ! , que é obtida porque e - x x n l n ! ,   x > 0 é a função densidade de uma variável aleatória gama com parâmetros n, +1 e γ , e sua integral é igual a 1.

Considerando isso vemos que:

1 = C ∫ 0 ∞ e - y   ∫ - y y y - x d x d y  

Resolvendo isso obtemos:

C ∫ 0 ∞ e - y 2 y 2 d y = 4 C → C = 1 4

Passo 2

Para a letra b, levamos em conta que a função densidade conjunta é diferente de zero somente quando y > x   e   y > - x , temos para x > 0 .

f X x = 1 4 ∫ x ∞ y - x . e - y d y → f X x = 1 4 ∫ 0 ∞ u . e - x + u d u = 1 4 . e - x  

Considerando x < 0 ,

f X x = 1 4 ∫ - x ∞ y - x . e - y d y →   f X x = 1 4 - y e - y - e - y + x e - y - x ∞

f X x = - 2 x e x + e x 4

Passo 3

Para a letra c repetiremos o processo da letra anterior, sendo assim:

f Y y = 1 4 e - y ∫ - y y y - x d x → f Y y = 1 2 y 2 e - y

Passo 4

Para a letra d devemos considerar que a E X = X 2 + X 2 , considerando isso vemos que:

E X = 1 4 ∫ 0 ∞ x . e - x d x + ∫ - ∞ 0 - 2 x 2 e x + x e x d x

E X = 1 4 1 - ∫ 0 ∞ 2 y 2 e - y + y e - y d y = 1 4 1 - 4 - 1 = - 1

Passo 5

Devemos repetir o mesmo para função de Y, então:

E Y = 1 2 ∫ 0 ∞ y 3 e - y d y = 3  

E agora, bora para o próximo =)

Resposta

  1. C = 1 4 ;
  2. f X x = - 2 x e x + e x 4 ;
  3. f Y ( y ) = 1 2 y 2 e - y ;
  4. E X = - 1 ;
  5. E Y = 3 .

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