A densidade conjunta de X e Y é dada por

f x , y = x e - ( x + y ) ,         x > 0 ,   y > 0 0 ,                           c a s o   c o n t r á r i o          

X e Y são independetes? Se, em vez disso, f ( x , y ) fosse dada por

f x , y = 2 ,         0 < x < y ,   0 < y < 1 0 ,                           c a s o   c o n t r á r i o

X e Y seriam independentes?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos verificar se X e Y são independentes. Para isso, temos que verificar se:

f x f y = f ( x , y )

Beleza, então vamos começar achando f ( x ) :

f x = ∫ 0 ∞ x e - ( x + y ) d y = x e - x - e - y 0 ∞

f x = x e - x

Agora vamos achar f y :

f x = ∫ 0 ∞ x e - ( x + y ) d x = e - y - x e - ∞ - e - 0 - e - x 0 ∞

f x = e - y

Verificando:

f x f y = f ( x , y )

x e - x e - y = f ( x , y )

Logo, elas são independentes.

Resposta

S ã o   i n d e p e n d e n t e s