Enunciado

Dentre 150 funcionários da Receita Federal de

uma grande cidade, apenas 30 são mulheres. Se dez dos

funcionários são escolhidos aleatoriamente para fornecer

assistência gratuita sobre os impostos para os residentes

nesta cidade, use a aproximação binomial para a hipergeométrica para encontrar a probabilidade de que pelo

menos três mulheres sejam selecionadas.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A partir das informações fornecidas, fica claro que entre 150 I R S os funcionários apenas 30 são mulheres.

Se 10 funcionários escolherem aleatoriamente, calcule a probabilidade de que pelo menos 3 mulheres sejam selecionadas.

Para calcular o valor de probabilidade necessário, use a aproximação binomial para a distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Seja X o número de mulheres selecionadas entre as 10 candidatas.

Aqui, X ∼ h y p g e o ⁡ ( N = 150 , n = 10 e k = 30 )

A função de massa de probabilidade da distribuição hipergeométrica é dada por,

h ( x ; N = 150 , n = 10 , k = 30 ) = k x N - k n - x N n   ;   0 ≤ x ≤ 10

Passo 3

Usando a aproximação binomial para a distribuição hipergeométrica obtemos,

Probabilidade de sucesso em cada tentativa p = k N

  = 30 150   = 0.2

Localizar, P [ X ≥ 3 ] onde X ∼ B i n ⁡ ( 10,0.2 )

A função massa de probabilidade da distribuição binomial é dada por,

P ( X = x ) = n x p x ( 1 - p ) n - x   x = 0,1 … , 10

Agora

P [ X ≥ 3 ]   = 1 - P [ X ≤ 2 ]   = 1 - { P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) }   = 1 - 10 0 × 0.2 0 × 0.8 10 - 0 + 10 1 × 0.2 1 × 0.8 10 - 1   = 1 - 0.6778   = 0.3222

Portanto, a probabilidade necessária é 0 . 3222 .

Resposta

P [ X ≥ 3 ] = 0.3222

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