Enunciado

O Departamento Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo.

( a ) Esboce o histograma correspondente.

( b ) Calcule a média, a variância e o desvio padrão.

( c ) Calcule o 1o quartil e a mediana.

( d ) Se for concedido um aumento de 100 % para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua resposta.

( e ) Se for concedido um abono de dois salários mínimos para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? E na mediana? Justifique sua resposta.

Passo 1

Bom galera, vamos começar esboçando o histograma:

Passo 2

Show de bola, agora, vamos calcular a média, variância e o desvio padrão:

x - = ∑ i = 1 n x i f i n

Mas não se esqueça que a frequência dada foi a frequência relativa, e precisamos transforma-la em frequência absoluta:

f 1 = 0,25 × 120 = 30

f 2 = 0,40 × 120 = 48

f 3 = 0,20 × 120 = 24

f 4 = 0,15 × 120 = 18

Agora sim, vamos encontrar a média

x - = 1 ⋅ 30 + 3 ⋅ 48 + 5 ⋅ 24 + 8 ⋅ 18 120 = 3,65

Para calcular a variância, usamos

V a r X = s 2 = ∑ i = 1 n x i - x ¯ 2 f i n - 1

Beleza?! Substituindo os valores,

s 2 = 1 - 3,65 2 ⋅ 30 + 3 - 3,65 2 ⋅ 48 + 5 - 3,65 2 ⋅ 24 + 8 - 3,65 2 ⋅ 18 119

Assim,

s 2 = - 2,65 2 ⋅ 30 + - 0,65 2 ⋅ 48 + 1,35 2 ⋅ 24 + 4,35 2 ⋅ 18 119 = 5,17

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

d p X = s = 5,17 = 2,27

Passo 3

Belezinha, encontramos o 1 ° quartil e a mediana:

1 °   q u a r t i l → q 1 = 2

A mediana é:

4 - 2 0,40 = m d - 2 0,25 → m d = 3,25

Passo 4

Então, se todos os salários aumentarem em 100 % (dobrarem), a média dos salários dobrará, e assim, a variância será 4 vezes maior. Pois, a diferença entre a média e todos os valores dobraram, e como a variância é ao quadrado, a variância é quadruplicado.

Já, caso todos os funcionários recebessem um abono de 2 salários mínimos, a média e a mediana aumentariam em 2 salários mínimos, mas o desvio padrão e a variância não se alteram, pois a média e todas observações sobem o mesmo valor, portanto a diferença entre eles permanece igual, logo a variância e o desvio padrão também.

Resposta

( b ) x - = 3,65 ; v a r X = 5,17 ; d p X = 2,27

( c ) q 1 = 2 ; m d = 3,25

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Refaça o problema anterior, utilizando desta vez os dados do Problema 5 do Capítulo 2.
Obtenha o esquema dos cinco números para os dados do Problema 3. Calcule o intervalo interquartil e as dispersões inferior e superior. Baseado nessas medidas, verifique se a forma da distribuição dos
Obter os três quartis, q ( 0,1 ) e q ( 0,90 ) para os dados do Problema 3.
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