Questão: Considere a função f ( x ) = x [ l n ⁡ ( x ) ] 2

(a) Faça o estudo completo do comportamento desta função, ou seja estude o comportamento assintótico, crescimento e decrescimento, concavidade e etc.

Passo 1

Vamos fazer um estudo completo do comportamento da função f ( x ) = x [ l n ⁡ ( x ) ] 2 .

Domínio:A função está definida para x > 0 , pois o termo l n ⁡ ( x ) não está definido para valores nãopositivos.

Assíntotas:Não há assíntotas verticais porque a função está definida para todo x > 0 . Vamos analisar a assíntota horizontal.

Assíntota Horizontal:Vamos verificar o comportamento da função quando x tende ao infinito: l i m x → ∞   x [ l n ⁡ ( x ) ] 2 = ∞

Portanto, não há assíntota horizontal.

Passo 2

Derivada:Vamos calcular a derivada da função f ( x ) :

f ( x ) = x [ l n ⁡ ( x ) ] 2

f ' ( x ) = [ l n ⁡ ( x ) ] 2 + 2 x l n ⁡ ( x ) ⋅ 1 x = [ l n ⁡ ( x ) ] 2 + 2 l n ⁡ ( x )

f ' ( x ) = l n ⁡ ( x ) ( [ l n ⁡ ( x ) ] + 2 )

Pontos Críticos:Os pontos críticos ocorrem onde f ' ( x ) = 0 . Isso ocorre quando l n ⁡ ( x ) = 0 ou [ l n ⁡ ( x ) ] + 2 = 0 .Resolvendo essas equações, encontramos que x = 1 é um ponto crítico

Passo 3

Análise de Sinais e Intervalos de Crescimento/Decrescimento:Vamos analisar os intervalos determinados pelo ponto crítico x = 1 e pelo domínio x > 0 .Para x > 1 :

  • f ' ( x ) > 0 (pois l n ⁡ ( x ) é positivo e crescente em x > 1 )
  • Portanto, a função é crescente nesse intervalo.Para 0 < x < 1 :
  • f ' ( x ) < 0 (pois l n ⁡ ( x ) é negativo e decrescente em 0 < x < 1 )
  • Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Segunda Derivada e Concavidade:Vamos calcular a segunda derivada da função f ( x ) :

f ' ( x ) = l n ⁡ ( x ) ( [ l n ⁡ ( x ) ] + 2 )

f ' ( x ) = l n ⁡ ( x ) ( [ l n ⁡ ( x ) ] + 2 )

A segunda derivada é positiva para x > e - 3 e negativa para 0 < x < e - 3 . Isso significa que a função é côncava para cima em x > e - 3 e côncava para baixo em 0 < x < e - 3 .

Pontos de Inflexão:Não há pontos de inflexão, pois a concavidade não muda em x = e - 3 .

Passo 5

Limites:Vamos analisar os limites da função quando x se aproxima de 0 e de + ∞ :

l i m x → 0 +   x [ l n ⁡ ( x ) ] 2 = 0

l i m x → ∞   x [ l n ⁡ ( x ) ] 2 = ∞

Comportamento para x → 0 + :A função tende a O à medida que x se aproxima de 0 .

Comportamento para x → + ∞ :A função cresce indefinidamente à medida que x aumenta.

Resposta

Em resumo, a função f ( x ) = x [ l n ⁡ ( x ) ] 2 é crescente para x > 1 , decrescente para 0 < x < 1 , côncava para cima em x > e - 3 , tem um ponto de mínimo local em x = 1 , não possui pontos de inflexão e cresce indefinidamente à medida que x aumenta.