Determine se uma distribuição normal pode ser usada para aproximar a distribuição binomial. Se for possível, use o teste z para testar a afirmação sobre a proporção populacional p ao nível de significância α .

Afirmação: p < 0,70 ; α = 0,01

Estatísticas amostrais: p ^ = 0,50 ; n = 68 .

Passo 1

Olá galerinha! Vamos resolver esse exercício juntos? Vamos lá!

Primeiramente iremos verificar se a distribuição amostral de p ^ pode ser aproximada por uma distribuição normal, para isso, precisamos que n p ≥ 5 e n q ≥ 5 .

n = 68

p = 0 , 70

q = 1 - p = 1 - 0 , 70

q = 0 , 30

Então:

n p = 68 ∙ 0 , 70 = 47,6

n q = 68 ∙ 0 , 30 = 20,4

Ambos os produtos n p e n q são maiores que 5, sendo assim podemos usar o teste z e definir as hipóteses nula e alternativa:

H 0 : p ≥ 0,70 ;

H a : p < 0,70 (afirmação).

Passo 2

Como o teste é unilateral à esquerda e o nível de significância é α = 0,0 1 :

O valor crítico é:

z 0 = - 2,33 .

E a região de rejeição:

z < - 2,33 .

Passo 3

Agora iremos calcular a estatística de teste padronizada pela seguinte equação:

z = p ^ - p p q n = 0 , 50 - 0 , 70 ( 0 , 70 ∙ 0 , 30 ) 68

z = - 3 , 599

Como z = - 3,599   está na região de rejeição, então rejeitamos H 0 .

Resposta

Rejeita H 0 . Há evidência suficiente, ao nível de significância de 1%, para concordar com a afirmação.