Determine se você pode usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial. Se for possível, use a distribuição normal para aproximar as probabilidades indicadas e esboce seus gráficos. Se não for possível, explique o porquê e use a distribuição binomial para encontrar as probabilidades indicadas.

Uma pesquisa descobriu que 52% dos adolescentes americanos com idade de 16 a 18 anos têm uma conta poupança. Você seleciona aleatoriamente 45 adolescentes americanos com idade de 16 a 18 anos e pergunta se eles têm uma conta poupança. Encontre a probabilidade de que o número dos que têm uma conta poupança seja:

(b) exatamente 25

(Fonte: Charles Schwab.)

Passo 1

Olá galerinha! Para este exercício precisamos relembrar algumas regrinhas.

Para calcular uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, precisamos que n p ≥ 5 e n q ≥ 5 , se essas condições são verdadeiras, então a variável aleatória binomial x tem uma distribuição aproximadamente normal, com média:

μ = n ∙ p

E desvio padrão:

σ = n ∙ p ∙ q

Onde:

n número de tentativa

p a probabilidade de sucesso em uma única tentativa

q a probabilidade de fracasso em uma única tentativa ( q = 1 - p )

Passo 2

No exercício temos que:

n = 45

p = 0,52

q = 0,48

Logo:

n p = 45 ∙ 0,52 = 23,4

n q = 45 ∙ 0,48 = 21,6

Como n p e n q são maiores que 5 então podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, para o cálculo da média ( μ ) e desvio padrão ( σ ):

μ = n ∙ p = 45 ∙ 0,52

μ = 23,4

σ = n ∙ p ∙ q = 45 ∙ 0,52 ∙ 0,48

σ ≈ 3,35

Passo 3

(b) exatamente 25 = P ( x = 25 )

O intervalo correspondente para a distribuição normal contínua é 24,5 < x < 25,5 , logo a probabilidade da distribuição normal é P 24,5 < x < 25,5 .

Então iremos encontrar o escore - z pela seguinte equação:

z = x - μ σ

Onde:

μ = 23,4

σ ≈ 3,35

x = 24,5   e   25,5

z = 24,5 - 23,4 3,35 → z ≈ 0,33  

z = 25,5 - 23,4 3,35 → z ≈ 0,63

Pela tabela da distribuição normal padrão:

A probabilidade encontrada na tabela é para P x < 24,5 e P x < 25,5 . Para obtermos P 24,5 < x < 25,5 :

P 24,5 < x < 25,5 = P ( 0,33 < z < 3,63 )

P 24,5 < x < 25,5 = 0,7357 - 0,6293

P 24,5 < x < 25,5 = 0,1064

A probabilidade de que o número dos que têm conta poupança seja exatamente 25 é de 0,1064.

Resposta

P 24,5 < x < 25,5 = 0,1064