Determine se você pode usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial. Se for possível, use a distribuição normal para aproximar as probabilidades indicadas e esboce seus gráficos. Se não for possível, explique o porquê e use a distribuição binomial para encontrar as probabilidades indicadas.

Trinta e um por cento da população dos Estados Unidos têm tipo sanguíneo A+. Você seleciona aleatoriamente 40 pessoas nos Estados Unidos e pergunta se elas têm tipo sanguíneo A+. Encontre a probabilidade de que o número de pessoas que têm tipo sanguíneo A+ seja:

(c) entre 20 e 35

(Fonte: American Association of Blood Banks.)

Passo 1

Olá galerinha! Para este exercício precisamos relembrar algumas regrinhas.

Para calcular uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, precisamos que n p ≥ 5 e n q ≥ 5 , se essas condições são verdadeiras, então a variável aleatória binomial x tem uma distribuição aproximadamente normal, com média:

μ = n ∙ p

E desvio padrão:

σ = n ∙ p ∙ q

Onde:

n número de tentativa

p a probabilidade de sucesso em uma única tentativa

q a probabilidade de fracasso em uma única tentativa ( q = 1 - p )

Passo 2

No exercício temos que:

n = 40

p = 0,31

q = 0,69

Logo:

n p = 40 ∙ 0,31 = 12,4

n q = 40 ∙ 0,69 = 27,6

Como n p e n q são maiores que 5 então podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, para o cálculo da média ( μ ) e desvio padrão ( σ ):

μ = n ∙ p = 40 ∙ 0,31

μ = 12,4

σ = n ∙ p ∙ q = 40 ∙ 0,31 ∙ 0,69

σ ≈ 2,93

Passo 3

(c) entre 20 e 35 = P ( 20 < x < 35 )

Os valores dos pontos médios discretos são 21, 22, ..., 34. O intervalo correspondente para a distribuição normal contínua é 20,5 < x < 34,5 , logo a probabilidade da distribuição normal é P 20,5 < x < 34,5 .

Então iremos encontrar o escore - z pela seguinte equação:

z = x - μ σ

Onde:

μ = 12,4

σ ≈ 2,93

x = 20,5   e   34,5

z = 20,5 - 12,4 2,93 → z ≈ 2,76  

z = 34,5 - 12,4 2,93 → z ≈ 7,54

Pela tabela da distribuição normal padrão:

P x < 20,5 = P ( z < 2,76 )

P x < 20,5 = 0,9971

P x < 34,5 = P ( z < 7,54 ) como na tabela não temos z = 7,54 , mas o maior valor de z = 3,49 está tendendo a 1, então podemos considerar que:

P x < 34,5 ≈ 1

Logo:

P 20,5 < x < 34,5 = P ( 2,76 < z < 7,54 )

P 20,5 < x < 34,5 = 1 - 0,9971

P 20,5 < x < 34,5 = 0,0029

A probabilidade de que o número de pessoas que têm tipo sanguíneo A+ esteja entre 20 e 35 é de 0,0029.

Resposta

P 20,5 < x < 34,5 = 0,0029