Determine se você pode usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial. Se for possível, use a distribuição normal para aproximar as probabilidades indicadas e esboce seus gráficos. Se não for possível, explique o porquê e use a distribuição binomial para encontrar as probabilidades indicadas.

Trinta e um por cento da população dos Estados Unidos têm tipo sanguíneo A+. Você seleciona aleatoriamente 40 pessoas nos Estados Unidos e pergunta se elas têm tipo sanguíneo A+. Encontre a probabilidade de que o número de pessoas que têm tipo sanguíneo A+ seja:

(a) exatamente 15

(Fonte: American Association of Blood Banks.)

Passo 1

Olá galerinha! Para este exercício precisamos relembrar algumas regrinhas.

Para calcular uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, precisamos que n p ≥ 5 e n q ≥ 5 , se essas condições são verdadeiras, então a variável aleatória binomial x tem uma distribuição aproximadamente normal, com média:

μ = n ∙ p

E desvio padrão:

σ = n ∙ p ∙ q

Onde:

n número de tentativa

p a probabilidade de sucesso em uma única tentativa

q a probabilidade de fracasso em uma única tentativa ( q = 1 - p )

Passo 2

No exercício temos que:

n = 40

p = 0,31

q = 0,69

Logo:

n p = 40 ∙ 0,31 = 12,4

n q = 40 ∙ 0,69 = 27,6

Como n p e n q são maiores que 5 então podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, para o cálculo da média ( μ ) e desvio padrão ( σ ):

μ = n ∙ p = 40 ∙ 0,31

μ = 12,4

σ = n ∙ p ∙ q = 40 ∙ 0,31 ∙ 0,69

σ ≈ 2,93

Passo 3

(a) exatamente 15 = P ( x = 15 )

O intervalo correspondente para a distribuição normal contínua é 14,5 < x < 15,5 , logo a probabilidade da distribuição normal é P 14,5 < x < 15,5 .

Então iremos encontrar o escore - z pela seguinte equação:

z = x - μ σ

Onde:

μ = 12,4

σ ≈ 2,93

x = 14,5   e   15,5

z = 14,5 - 12,4 2,93 → z ≈ 0,72  

z = 15,5 - 12,4 2,93 → z ≈ 1,06

Pela tabela da distribuição normal padrão:

A probabilidade encontrada na tabela é para P x < 14,5 e P x < 15,5 . Para obtermos P 14,5 < x < 15,5 :

P 14,5 < x < 15,5 = P ( 0,72 < z < 1,06 )

P 14,5 < x < 15,5 = 0,8554 - 0,7642

P 14,5 < x < 15,5 = 0,0912

A probabilidade de que o número de pessoas que têm tipo sanguíneo A+ seja exatamente 15 é de 0,0912.

Resposta

P 14,5 < x < 15,5 = 0,0912