Enunciado

Devido à variabilidade no processo de manufatura, o ponto de escoamento real de uma amostra de aço leve sujeita à força crescente geralmente será diferente do ponto de escoamento teórico. Seja p a proporção real de amostras que escoam antes de seu ponto de escoamento teórico. Se, com base em uma amostra, é possível concluir que mais de 20% dos espécimes que escoam antes do ponto teórico, o processo de produção deve ser modificado.

a. Se 15 de 60 espécimes escoam antes do ponto teórico, qual é o valor P quando o teste apropriado é usado e o que você recomendaria que a empresa fizesse?

b. Se a percentagem real dos “primeiros escoamentos” é realmente 50% (de modo que o ponto teórico é a mediana da distribuição do escoamento), e for usado um teste nível 0,01, qual é a probabilidade de a empresa concluir que é necessário modificar o processo?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão vamos apenas precisar organizar as informações do enunciado e usar o apêndice do livro para achar as probabilidades. Bora lá!!!

Passo 2

Seja p a população de aço leve que cede antes do seu ponto de escoamento teórico, e seja p ^ uma estimativa amostral de p .

Nós precisamos testar:

H 0 : p = 0,2

H a : p > 0,2

No nível de significância α = 0,05 .

A estimativa amostral é calculada da seguinte forma:

p ^ = X n = 15 60 = 0,25

O valor nulo é p 0 = 0,2 e como:

n ∙ p 0 = 60 ∙ 0,2 = 12 ≥ 10

n ∙ 1 - p 0 = 60 ∙ 0,8 = 48 ≥ 10

Então, as suposições necessárias para usar a estatística do teste Z foram validadas.

E a estatística de teste usada para testar essas hipóteses é:

Z = p ^ - p 0 p 0 ( 1 - p 0 ) n ≈ H 0 N ( 0,1 )

Substituindo os valores.

Z = 0,25 - 0,2 0,2 ∙ ( 1 - 0,2 60 = 0,97

E o valor P deste teste é:

P = P Z ≥ 0,97 = 1 - P Z ≤ 0,97

= 1 - 0,834

P = 0,166

Como o valor P é do teste é maior do que nosso nível de significância α = 0,05 . Falhamos em rejeitar a hipótese nula. Por fim, não temos evidências suficientes para concluir que mais de 20% do aço leve escoraria antes do seu ponto de escoamento teórico.

Passo 3

Para encontrarmos a probabilidade de a empresa concluir que precisa mudar o processo, calculamos da seguinte forma:

1 - β = P Z ≥ 2,33     p = 0,5 )

= P p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n ≥ 2,33   |   p = 0,5  

= P p ^ ≥ p 0 + 2,33 ∙ p 0 1 - p 0 n   |   p = 0,5

= P Z ≥ 0,2 - 0,5 + 2,33 ∙ 0,2 1 - 0,2 60 p 1 - p n

= P Z ≥ - 2,78

= 1 - P ( Z ≤ - 2,78 )

= 1 - 0,0027

1 - β 0,5 = 0,9973

Resposta

  1. P = 0,166
  2. 1 - β 0,5 = 0,9973

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