Dezenove itens na borda de um círculo de raio 1 são escolhidos. Mostre que, para qualquer escolha de itens, haverá um arco do comprimento que contém pelo menos 4 deles.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Considere um ponto uniformemente escolhido na borda do círculo de raio 1. Como

circunferência do círculo é 2 π , a probabilidade de que o ponto escolhido esteja em um

arco especificado de comprimento x é x 2 π .

Seja a vizinhança de qualquer ponto da borda o arco que começa no ponto e estendendo por um comprimento 1 e deixe a variável aleatória X e denotar o número de pontos que se encontram na vizinhança do ponto escolhido

Passo 2

Vamos definir variáveis ​​indicadoras

I j =   1 ,     s e   E j   o c o r r e   0 ,     s e   E j   n ã o   o c o r r e

Onde E j ,   j = 1,2 , … ,   n denota os eventos, portanto

X =   ∑ j = 1 19 I j

E portanto, a esperança de X é

E X = ∑ j = 1 19 1 2 π = 19 2 π

E isso é maior que

19 2 π > 3

Resposta

E X = 19 2 π > 3