Dispomos de 100 componentes que colocaremos em funcionamento de forma sequencial. Isto é, o componente 1 é utilizado primeiro e, se falhar, será substituído pelo componente 2, que, em caso de falha, será substituído pelo componente 3, e assim por diante. Se o tempo de vida de um componente i é distribuído exponencialmente com média 10 + i 10 , i = 1 ,..., 100, estime a probabilidade de que o tempo de vida total de todos os componentes supere 1200. Repita agora quando a distribuição do tempo de vida do componente i é uniformemente distribuído ao longo de (0,20 + i 5 ), i = 1 ,..., 100.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Digamos que X i representa o tempo de vida de cada componente i, onde i = 1, 2, ..., 100. Vamos assumir que os componentes são usados um de cada vez e assim que um falha ele é imediatamente substituído por outro novo. Logo, temos que o tempo de vida útil é uma variável aleatória de distribuição exponencial com parâmetro λ i . Então,

μ i = E X i = 1 λ i         e         σ i 2 = V a r ( X i ) = 1 λ i 2  

E, considerando que o tempo de vida útil é variável com a média 10 + i 10 ,     i = 1 ,   2 ,   … ,   100 então:

λ i = 10 100 + i

Daí,

μ i = 10 + i 10         e         σ i 2 = 100 + 2 i + i ² 100

Façamos ainda X indicar o tempo de vida total dos 100 componentes, ou seja:

X =   ∑ 1 100 X i

Dado que o tempo de vida útil dos componentes é uma variável aleatória e usando as propriedades de valor esperado e variância, temos que:

E X = E ∑ 1 100 X i =   ∑ 1 100 μ i =   ∑ 1 100 10 + i 10 = 100.10 + 1 10 ∑ 1 100 i

E X = 100.10 + 100.101 10.2 = 1505

E

V a r X = V a r ∑ 1 100 X i = ∑ 1 100 σ i 2 =   ∑ 1 100 100 + 2 i + i 2 100

V a r X = 100.100 + 2 ∑ 1 100 i + 1 100   ∑ 1 100 i 2 = 100.100 + 100.101 + 100.101.201 100.6 = 23483,5

OBS: Para calcular os somatórios acima foram usadas as seguintes expressões:

∑ 1 n i = n n + 1 2       e       ∑ 1 n i 2 = n n + 1 ( 2 n + 1 ) 6         o n d e   n = 100 .

Passo 2

Agora precisamos determinar a probabilidade de que o tempo de vida de todos os componentes ultrapasse 1200, ou seja P X > 1 2 0 0 . Para calcularmos essa probabilidade usemos o teorema do limite central:

P X > 1 200 = 1 -   P X ≤ 1 200 = 1 -   P X - 1 5 0 5 23483,5 ≤ 1 200 - 1 5 0 5 23483,5

P X > 1 200 = 1 - Φ 1200 - 1 5 0 5 23483,5

P X > 1 200 = 1 - Φ - 1,99 = Φ 1,99  

Usando a tabela da curva distribuição normal para Φ 1 , 99 = 0,9 767 temos que:

P X > 1 2 0 0 = 0,9767

Passo 3

Agora vamos assumir que o tempo de vida útil é uma variável aleatória de distribuição uniforme no intervalo 0,20   , i 5 . Então,

μ i = E X i = 10 + i 10         e         σ i 2 = V a r X i = 100 3 + 2 3 i + 1 3 00 i 2

Neste caso, o tempo de vida total, dos 100 componentes, X =   ∑ 1 100 X i é uma variável aleatória com valor esperado e variância, dado por:

E X = E ∑ 1 100 X i =   ∑ 1 100 μ i =   ∑ 1 100 10 + i 10 = 1505

E

V a r X = V a r ∑ 1 100 X i = ∑ 1 100 σ i 2 =   ∑ 1 100 100 3 + 2 3 i + 1 300 i 2 = 7827,83

Passo 4

Determinando novamente a probabilidade de que o tempo de vida de todos os componentes ultrapasse 1200, ou seja P X > 1200 . Para calcularmos essa probabilidade usemos o teorema do limite central:

P X > 1200 = 1 -   P X ≤ 1200 = 1 -   P X - 1505 7827,83 ≤ 1200 - 1505 7827,83

P X > 1200 = 1 - Φ 1200 - 1505 7827,83

P X > 1200 = 1 - Φ - 3,45 = Φ 3,45  

Usando a tabela da curva distribuição normal para Φ 3,45 = 0 , 999 7 temos que:

P X > 1200 = 0,9 997

Resposta

Por distribuição exponencial: P X > 1 2 0 0 = 0 , 9767

Por distribuição uniforme: P X > 1200 = 0,9 99 7