Dispomos de 100 componentes que colocaremos em funcionamento de forma sequencial. Isto é, o componente 1 é utilizado primeiro e, se falhar, será substituído pelo componente 2, que, em caso de falha, será substituído pelo componente 3, e assim por diante. Se o tempo de vida de um componente i é distribuído exponencialmente com média 10 + , i = 1 ,..., 100, estime a probabilidade de que o tempo de vida total de todos os componentes supere 1200. Repita agora quando a distribuição do tempo de vida do componente i é uniformemente distribuído ao longo de (0,20 + ), i = 1 ,..., 100.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Digamos que representa o tempo de vida de cada componente i, onde i = 1, 2, ..., 100. Vamos assumir que os componentes são usados um de cada vez e assim que um falha ele é imediatamente substituído por outro novo. Logo, temos que o tempo de vida útil é uma variável aleatória de distribuição exponencial com parâmetro . Então,
E, considerando que o tempo de vida útil é variável com a média então:
Daí,
Façamos ainda X indicar o tempo de vida total dos 100 componentes, ou seja:
Dado que o tempo de vida útil dos componentes é uma variável aleatória e usando as propriedades de valor esperado e variância, temos que:
E
OBS: Para calcular os somatórios acima foram usadas as seguintes expressões:
Passo 2
Agora precisamos determinar a probabilidade de que o tempo de vida de todos os componentes ultrapasse 1200, ou seja . Para calcularmos essa probabilidade usemos o teorema do limite central:
Usando a tabela da curva distribuição normal para temos que:
Passo 3
Agora vamos assumir que o tempo de vida útil é uma variável aleatória de distribuição uniforme no intervalo . Então,
Neste caso, o tempo de vida total, dos 100 componentes, é uma variável aleatória com valor esperado e variância, dado por:
E
Passo 4
Determinando novamente a probabilidade de que o tempo de vida de todos os componentes ultrapasse 1200, ou seja . Para calcularmos essa probabilidade usemos o teorema do limite central:
Usando a tabela da curva distribuição normal para temos que:
Resposta
Por distribuição exponencial:
Por distribuição uniforme: