Enunciado

Disputa-se um torneio com n competidores em que cada um dos n 2 pares de competidores joga entre si exatamente uma vez, com o resultado de cada partida sendo a vitória de um dos competidores e a derrota do outro. Para um inteiro fixo k, k

dores, exista um jogador que vença cada membro do conjunto. Mostre que se

n k 1 - 1 2 k n - k < 1

então tal resultado é possível.

Dica: Suponha que os resultados das partidas sejam independentes entre si e que cada partida tenha a mesma probabilidade de ser vencida por cada um dos competidores. Numere os n k conjuntos de k competidores e faça com que B, represente o evento em que nenhum competidor derrota todos os k jogadores no i-ésimo conjunto. Então use a desigualdade de Boole para limitar P ⋃ i B i .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Se A k não ocorreu, pelo menos uma B l ocorreu, e vice-versa, ou seja,

A k c =   ⋃ l = 1 n k B l

A inequação de Boole, derivado da fórmula dos estados de inclusão e exclusão para

qualquer número de eventos, aqui B 1 , B 2 , … B l

P ⋃ l = 1 n k B l ≤   ∑ l = 1 n k P B l

Desde que esses valores de B i são simétricos, as probabilidades são as mesmas

P A k c = P ⋃ l = 1 n k B l ≤   n k P ( B 1 )

Passo 2

A probabilidade de um determinado jogador vencer cada jogo contra os jogadores observados é

1 2 k

Já que os jogos são independentes. Isso deve acontecer para cada um n - k   dos outros jogadores. Esses eventos são independentes, pois são definidos por resultados de jogos diferentes, pelos jogadores envolvidos.

A probabilidade de que nenhum dos n - k jogadores tenha vencido o observado k é:

P B 1 = 1 - 1 2 k n - k

Passo 3

Substituindo isso na fórmula obtemos:

P A k c ≤   n k 1 - 1 2 k n - k

Portanto, se

n 2 1 - 1 2 k n - k < 1

Então P A k c < 1 e isso é equivalente a P A k > 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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