Distribuição hipergeométrica. Experimentos binomiais exigem que qualquer amostragem seja feita com reposição, pois cada tentativa deve ser independente das outras. Na distribuição hipergeométrica cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso e fracasso. Porém, a amostragem é feita sem reposição. Para uma população de N itens tendo k   sucessos e N - k fracassos, a probabilidade de selecionar uma amostra de tamanho n que tenha x sucessos e n - x fracassos é dada por:

P x = ( k C x ) ( N - k C n - x ) ( N C n )

Em um carregamento de 15 microchips, 2 têm defeito e 13 não apresentam defeito. Uma amostra de três microchips é escolhida aleatoriamente. Determine a probabilidade de

(a) os três microchips não terem defeito,

(b) um microchip ter defeito e dois não terem e

(c) dois microchips apresentarem defeito e um não apresentar.

Passo 1

Olá pessoal.

No enunciado temos os seguintes dados:

N = 15 ;

N - k = 2 ;

k = 13 ;

n = 3 .

Para o item (a):

x = 3 .

Também sabemos que:

( n C x ) = n ! n - x ! x !

Então:

( k C x ) = k ! k - x ! x ! = 13 ! 13 - 3 ! 3 ! = 286

( N - k C n - x ) = N - k ! N - k - n - x ! n - x !

( N - k C n - x ) = 2 ! 2 - 3 - 3 ! 0 ! = 1

( N C n ) = N ! N - n ! n ! = 15 ! 15 - 3 ! 3 ! = 455

Logo:

P 3 = ( k C x ) ( N - k C n - x ) ( N C n ) = 286 ∙ 1 455

P 3 = 0,629

Passo 2

(b) um microchip ter defeito e dois não terem:

x = 2 ;

n - x = 1 .

( k C x ) = 13 ! 13 - 2 ! 2 ! = 78

( N - k C n - x ) = 2 ! 2 - 1 ! 1 ! = 2

( N C n ) = 15 ! 15 - 3 ! 3 ! = 455

Logo:

P 2 = ( k C x ) ( N - k C n - x ) ( N C n ) = 78 ∙ 2 455

P 2 = 0 , 343

Passo 3

(c) dois microchips apresentarem defeito e um não apresentar:

x = 1 ;

n - x = 2 .

Então:

( k C x ) = 13 ! 13 - 1 ! 1 ! = 13

( N - k C n - x ) = 2 ! 2 - 2 ! 2 ! = 1

( N C n ) = N ! N - n ! n ! = 15 ! 15 - 3 ! 3 ! = 455

Logo:

P 1 = ( k C x ) ( N - k C n - x ) ( N C n ) = 13 ∙ 1 455

P 1 = 0 , 029

Até mais galerinha!!!

Resposta

  1. P 3 = 0,629
  2. P 2 = 0,343
  3. P 1 = 0,029