Dizemos que X é estocasticamente maior que Y, o que se escreve X ≥ s t Y   , se, para todo t,

P X > t ≥ P { Y > t }

Mostre que, se X ≥ s t Y , então E X ≥ E [ Y ] quando

(a) X e Y forem variáveis aleatórias não negativas;

(b) X e Y forem variáveis aleatórias arbitrárias.

Dica: Escreva X como

X =   X + - X -

onde

X + =   { X   s e   X ≥ 0   0   s e   X < 0         ,       X - =   { 0   s e   X ≥ 0   - X   s e   X < 0        

Similarmente, represente Y como Y =   Y + - Y - . Então utilize a letra (a).

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Sejam X e Y são variáveis aleatórias não negativas, temos que o valor esperado dessas variáveis podem ser descritos como:

E X = ∫ 0 ∞ P ( X > t ) d t   ,   E Y = ∫ 0 ∞ P ( Y > t ) d t

Se X é estocasticamente maior que Y, temos então que P X > t ≥ P ( Y > t ) para todo t. Logo,

E X = ∫ 0 ∞ P ( X > t ) d t ≥ ∫ 0 ∞ P Y > t d t = E [ Y ]

Passo 2

(b) Usando as decomposições X =   X + - X - e Y =   Y + - Y - temos que as variáveis X + , X - , Y + e   Y - são variáveis não negativas. Se X é estocasticamente maior que Y, então X + é estocasticamente maior que Y + . Usando o resultado de (a) então temos que E X + ≥ E ( Y + ) .

Por outro lado, se X é estocasticamente maior que Y, então Y - é estocasticamente maior que X - . Usando o resultado de (a) novamente, obtemos E Y - ≥ E ( X - ) . Unindo esses resultados vemos que:

E X = E ( X + ) - E X - ≥ E ( Y + ) - E Y - =   E ( Y )

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração.