Dois envelopes, cada um contendo um cheque, são colocados à sua frente. Você deve escolher um dos envelopes, abri-lo e ver o valor do cheque. Neste momento, você pode ficar com esse cheque ou trocá-lo pelo outro no envelope fechado. O que você faria? É possível traçar uma estratégia que seja melhor do que simplesmente aceitar o primeiro cheque? Suponha que A e B, A

(a) Mostre que se você empregar esta estratégia, seu retorno esperado será superior a (A + B)/2. Dica: Condicione na possibilidade do primeiro envelope ter o valor A ou B. Considere agora uma estratégia em que se fixe um valor x e se aceite o primeiro cheque caso o seu valor seja maior que x.

(b) Mostre que, para qualquer x, o retorno esperado de acordo com essa estratégia é no mínimo igual a (A + B)/2 e estritamente maior que (A + B)/2 se x estiver entre A e B.

(c) Suponha que X seja uma variável aleatória contínua em todo o eixo real, e considere a seguinte estratégia: gere o valor de X e, se X = x, empregue a estratégia da letra (b). Mostre que o retorno esperado com essa estratégia é maior que (A + B)/2.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos observar que x só pode assumir dois valores. Se x = A, ou seja, escolhemos o envelope com a quantia A, então aceitamos a probabilidade F(A) e pegamos em seguida o segundo envelope com a quantia B. Assim, o valor esperado nesse caso é F(A).A + (1-F(A)).B

Por outro lado, se escolhermos o envelope com a quantia B, estaremos aceitando a probabilidade F(B). Ao pegarmos o segundo envelope com a quantia A, teremos o valor esperado dado por F(B).B + (1-F(B)).A

(a) Considerando que ambos os envelopes tem a mesma probabilidade de serem escolhidos, temos que o retorno esperado é:

1 2 ( F A ⋅ A + 1 - F A ⋅ B + F B ⋅ + 1 - F B ⋅ A =  

A + B 2 + 1 2 A - B F A - F B ≥ A + B 2

Pois o termo (A-B)(F(A)-F(B)) é sempre maior ou igual a zero. Se A ≥ B então F(A) ≥ F(B) então teríamos o produto de dois números positivos que gera outro número positivo. Se B ≥ A então F(B) ≥ F(A) daí teríamos o produto de dois números negativos que também geraria um valor positivo.

Passo 2

(b) Aqui nós temos 3 possibilidades:

- Se x

A + B 2

- Se A

A + B 2

- Se A A + B 2 , uma vez que a relação A

A + B 2 < B + B 2 = B

Passo 3

(c) Vamos definir R como sendo a quantia obtida após a escolha feita. Usando a lei do valor esperado total, temos que:

E R = E ( R X < A ) P X < A +   E ( R A < X < B ) P A < X < B + E ( R B < X ) P B < X

Vale lembrar que de (b) temos que E ( R X < A ) ,     E ( R A < X < B )   e   E ( R B < X ) são todos maiores ou iguais a A + B 2 logo:

E R > A + B 2 P X < A + P A < X < B + P B < X

Como essas probabilidades são complementares, a soma delas é igual a 1. Logo,

E R > A + B 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

(a) Veja a demonstração no passo 1.

(b) E x < A < B =   A + B 2 , E A < B < x =   A + B 2 e E A < x < B =   B >   A + B 2

(c) E R > A + B 2