Entre dois métodos distintos de fabricação de certos produtos, a qualidade dos produtos fabricados pelo método i é uma variável aleatória com distribuição , i = 1,2. Suponha que n produtos sejam produzidos pelo método 1, e m, pelo método 2. Ordene os n + m produtos de acordo com a sua qualidade e considere
Para o vetor , ,..., que consiste em n 1's e mn 2's, suponha que R represente o número de séries de 1's. Por exemplo, se n=5, m=2 e X=1,2,1,1,1,1,2, então R = 2. Se (isto é, se os dois métodos fabricam produtos identicamente distribuídos), qual é a média e a variância de R?
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Suponhamos que foram ordenados ‘n’ produtos bons pelo método 1 e ‘m’ produtos bons pelo método 2 em sequência de acordo com a qualidade. Vamos definir uma variável aleatória que seja igual a um, se e somente se, o i-ésimo produto bom pelo método 2 tenha um produto bom pelo método 1 como seu antecessor. Assim, temos que:
Onde a variável aleatória K indica se o melhor produto foi produzido pelo método 1. Então podemos definir o valor esperado, ou seja a média, como:
E ainda por simetria,
Como, por propriedade, o valor esperado da soma é a soma dos valores esperados, temos que:
Passo 2
Observando que as variáveis e k são independentes, saber que o i-ésimo produto bom pelo método 2 tem um produto bom pelo método 1 como seu antecessor, não muda a probabilidade do j-ésimo produto pode ter também um produto bom, ou até o melhor produto, pelo método 1 como seu antecessor. Isso nos leva a definir a variância de R como:
Ajustando algebricamente as frações, teríamos:
Logo, obtivemos as expressões para média e variância de R em função de n e m.
Resposta
A média e variância de R são, respectivamente: