Entre dois métodos distintos de fabricação de certos produtos, a qualidade dos produtos fabricados pelo método i é uma variável aleatória com distribuição F i , i = 1,2. Suponha que n produtos sejam produzidos pelo método 1, e m, pelo método 2. Ordene os n + m produtos de acordo com a sua qualidade e considere

I i = 1   s e   o   j - é s i m   p r o d u t o   f o i   f a b r i c a d o   c o m   o   m é t o d o   1 2   c a s o   c o n t r á r i o

Para o vetor X 1 , X 2 ,..., X n + m que consiste em n 1's e mn 2's, suponha que R represente o número de séries de 1's. Por exemplo, se n=5, m=2 e X=1,2,1,1,1,1,2, então R = 2. Se F 1 = F 2 (isto é, se os dois métodos fabricam produtos identicamente distribuídos), qual é a média e a variância de R?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Suponhamos que foram ordenados ‘n’ produtos bons pelo método 1 e ‘m’ produtos bons pelo método 2 em sequência de acordo com a qualidade. Vamos definir uma variável aleatória Y i que seja igual a um, se e somente se, o i-ésimo produto bom pelo método 2 tenha um produto bom pelo método 1 como seu antecessor. Assim, temos que:

R =   ∑ i = 1 n + m Y i + K

Onde a variável aleatória K indica se o melhor produto foi produzido pelo método 1. Então podemos definir o valor esperado, ou seja a média, como:

E Y i = P Y i = 1 =   n + m - 2 n - 1 n + m n =   m n ( n + m ) ( n + m - 1 )

E ainda por simetria,

E K = P K = 1 =   n n + m

Como, por propriedade, o valor esperado da soma é a soma dos valores esperados, temos que:

E R = ∑ i = 1 m E Y i + E K = m m n ( n + m ) ( n + m - 1 ) +   n n + m = n ( m 2 + n + m - 1 ) ( n + m ) ( n + m - 1 )

Passo 2

Observando que as variáveis e k são independentes, saber que o i-ésimo produto bom pelo método 2 tem um produto bom pelo método 1 como seu antecessor, não muda a probabilidade do j-ésimo produto pode ter também um produto bom, ou até o melhor produto, pelo método 1 como seu antecessor. Isso nos leva a definir a variância de R como:

V a r R = ∑ i = 1 m V a r Y i + V a r K

V a r R = m m n n + m n + m - 1 1 - m n n + m n + m - 1 + m n ( n + m ) ²

Ajustando algebricamente as frações, teríamos:

V a r R = m n ( m 3 + m 2 n + m n 2 + m n - 2 m + n 2 - 2 n + 1 ) n + m ² n + m - 1 ²

Logo, obtivemos as expressões para média e variância de R em função de n e m.

Resposta

A média e variância de R são, respectivamente:

E R = n ( m 2 + n + m - 1 ) ( n + m ) ( n + m - 1 )

V a r R = m n ( m 3 + m 2 n + m n 2 + m n - 2 m + n 2 - 2 n + 1 ) n + m ² n + m - 1 ²