Dois pontos são selecionados aleatoriamente em uma linha de comprimento L de forma a estarem em lados opostos do ponto central dessa linha [em outras palavras, os dois pontos X e Y são variáveis aleatórias independentes tais que X é uniformemente distribuída ao longo de (0, L/2) e Y é uniformemente distribuída ao longo de (L/2, L)]. Determine a probabilidade de que a distância entre os dois pontos seja maior que L/3.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos destacar aqui o que é dado no enunciado:

f x = 2 L             0 ≤ x ≤ L 2

f y = 2 L             L 2 ≤ x ≤ L

P Y - X ≥ L 3 = ∬ y - x > L 3 f x f y d x d y = 4 L 2 ∬ y - x > L 3 d x d y

Aqui vamos ter que dividir os intervalos de integração por 2, ficando:

P Y - X ≥ L 3 = 4 L 2 ∫ 0 L 6 ∫ L 2 L d y d x + ∫ L 6 L 2 ∫ x + L 3 L d y d x

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular:

P Y - X ≥ L 3 = 4 L 2 ∫ 0 L 6 ∫ L 2 L d y d x + ∫ L 6 L 2 ∫ x + L 3 L d y d x

Integrando em relação a y e aplicando os limites:

P Y - X ≥ L 3 = 4 L 2 ∫ 0 L 6 L 2 d x + ∫ L 6 L 2 2 L 3 - x d x

P Y - X ≥ L 3 = 4 L 2 L 2 ∫ 0 L 6 d x + ∫ L 6 L 2 2 L 3 - x d x

Agora vamos integrar em relação a x e aplicar os limites:

P Y - X ≥ L 3 = 4 L 2 L ² 12 + L 2 3 - L 2 8 - L 2 9 + L 2 72

P Y - X ≥ L 3 = 7 9

Resposta

P Y - X ≥ L 3 = 7 9