Dois tipos de moedas são produzidos em uma fábrica; uma moeda honesta e uma moeda viciada que dá cara 55% das vezes. Temos uma dessas moedas, mas não sabemos se ela é honesta ou viciada. De forma a descobrir que tipo de moeda temos, realizamos o seguinte teste estatístico: jogamos a moeda 1.000 vezes. Se a moeda der cara 525 vezes ou mais, então concluiremos que ela é a moeda viciada. Por outro lado, se a moeda der cara menos de 525 vezes, então concluiremos que ela é a moeda honesta. Se a moeda é realmente a moeda honesta, qual é a probabilidade de que cheguemos a uma conclusão falsa?

Qual seria essa probabilidade se a moeda fosse viciada?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Como é a uma questão de enunciado bem grande, vamos organizar as coisas primeiro para saber o que realmente é pedido nesse caso, vamos lá!

F - E v e n t o   e m   q u e   o   t e s t e   c o n c l u i   q u e   a   m o e d a   é   j u s t a

B -   E v e n t o   e m   q u e   o   t e s t e   c o n c l u i   q u e   a   m o e d a   é   t e n d e n c i o s a

X F , X B - n u m e r o s   d e   c a r a s   n o   t e s t e ,   d e p e n d e n d o   d o   t i p o   d e   m o e d a  

Inclusive nesses casos, temos a seguinte característica

X F   ~   B i n x : p F ,   n = 1000

X B   ~   B i n ( x : p B ,   n = 1000 )

Passo 2

Temos alguns fatores de condição nessa probabilidade condicional, portanto

P B F = P ( X F ≥ 525 )

Desenvolvendo um pouco mais, nós obtemos o seguinte resultado

P B F = P X F - E X F V a r   X F ≥ 524,5 - E X F V a r X F

Substituindo o valor de E | X F | , nós temos

P B F = P X F - n p F n p F ∙ 1 - p F ≥ 524,5 - n p F n p F ∙ 1 - p F

Fazendo a substituição de valores, nós temos

P B F = P X F - 500 500 ∙ 1 2 ≥ 524,5 - 500 500 ∙ 1 2

Com isso, nós temos que usar uma aproximação, vamos usar a de DeMoivre-Laplace, com isso nós temos

P B F ≈ P Z ≥ 1,550

Passando para o complementar, obtemos

P B F = 1 - Φ 1,550 = 0,0606

Passo 3

Indo para o outro lado, a probabilidade de decidir incorretamente que é uma moeda honesta se estiver realmente viciada é

P F B = P X B ≤ 525,5

Com isso, nós temos que

P F B = P X B - 550 550 ∙ 0,45   ≤ 525,5 - 550 550 ∙ 0,45

E a probabilidade fica da seguinte forma

P F B = P Z ≤ - 1,6210 = 0,0525

Resposta

0,0525