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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios Teóricos - Ex. 24

Eis outra maneira de se obter um conjunto de equações recursivas para determinar P,, a probabilidade de que apareça uma série de k caras consecutivas em uma sequência de n jogadas de uma moeda honesta que dê cara com probabilidade p:

(a) Mostre que, para k

1. uma série de k caras consecutivas aparece nas primeiras n - I jogadas, ou

2. não há série de k caras consecutivas nas primeiras n - k - 1 jogadas, a jogada n - k dá coroa, e as jogadas n - k + 1, ..., n dão cara.

(b) Usando as condições anteriores, relacione P n a P n - 1 . Começando com P k = p k , a fórmula recursiva pode ser usada para obter P k + 1 , depois P k + 2 , e assim por diante, até P n .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos destacar aqui umas coisas. Sabendo que a chance de sair cara é k e de sair coroa é p , podemos dizer que:

k + p = 1

Portanto, para obter uma cadeia de k caras consecutivas em n lançamentos pode ser obtido das seguintes formas.

A primeira condição: Se o último lançamento não for cara, isso significa que os primeiros n - 1 lançamentos resultam em k caras consecutivas.

A segunda condição: O último lançamento é cara, e os k - 1 lançamentos antes também são caras.

Passo 2

Vamos para a letra (b).

Se houver uma sequência de k caras consecutivas, então a probabilidade de uma sequência de caras consecutivas é p × p × … × k =   p k . Logo:

P n = P n - 1 + ( 1 - P n - k - 1 ) ( 1 - p ) ( p k )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)