Encontrando o coeficiente de determinação e o erro padrão da estimativa

Nos exercícios 11 a 20, use os dados para encontrar (a) o coeficiente de determinação r2 e interprete o resultado, e (b) o erro padrão da estimativa se e interprete o resultado.

Ativos de fundos

A tabela a seguir mostra os ativos totais (em bilhões de dólares) de contas individuais de aposentadoria (CIAs) e planos de pensão federais para nove anos nos EUA. A equação da reta de regressão é y ^ = 0,177x + 450,146. (Adaptado de: Investment Company Institute).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos com mais uma seção!

O exercício pede para encontrar o coeficiente de determinação, que é dado por r2, ou seja, precisamos encontrar o coeficiente de correlação dos dados fornecidos e elevá-lo ao quadrado. Para simplificar os cálculos iremos usar o Microsoft Excel para construir a tabela necessária para o uso da formulação:

r = n ∑ x y - ( ∑ x ) ( ∑ y ) n ∑ x 2 - ∑ x 2 ∙ n ∑ y 2 - ∑ y 2

Passo 2

A tabela construída ficou da seguinte forma:

Substituindo os valores na equação. Sabendo que n = 9, teremos:

r = 9 ∙ 35206201 - 31923 ∙ 9690 9 ∙ 117962535 - 31923 2 ∙ 9 ∙ 10630820 - 9690 2 = 0,86

Passo 3

Item a

A partir do valor de r temos que o coeficiente de determinação é dada por:

r 2 = ( 0,86 ) 2 ≅ 0,7459

A interpretação desse resultado consiste em entender que cerca de 74,59% da variação nos ativos totais de planos de pensão federais pode ser explicada pela equação de regressão em função dos ativos totais de contas individuais de aposentadoria. Os restantes 25,41% da variação são a parte não explicada e consequência de outros fatores, tais como erro amostral, e outras variáveis não consideradas.

Passo 4

Item b

Com o uso da tabela já construída, torna-se mais interessante utilizar a formulação (Ao invés de construir uma nova tabela com valores de previsão de y e os desvios), como segue:

s e = ∑ y 2 - b ∑ y - m ∑ x y n - 2

Como fora dada a reta de regressão no enunciado, sabemos que b = 450,146 e que m = 0,177. Daí podemos substituir na equação:

s e = 10630820 - 450,146 ∙ 9690 - 0,177 ∙ 35206201 9 - 2 ≅ 73,10

O erro padrão da estimativa dos ativos totais dos planos de pensão federais, em bilhões de dólares, é de 73,10.

*Observação: Se possível façam os cálculos no Excel para minimizar a propagação de erros devido aos arredondamentos.

Resposta

Ver passo a passo.