Encontrando o coeficiente de determinação e o erro padrão da estimativa

Nos exercícios 11 a 20, use os dados para encontrar (a) o coeficiente de determinação r2 e interprete o resultado, e (b) o erro padrão da estimativa se e interprete o resultado.

Salários de homens e mulheres

A tabela a seguir mostra os salários anuais medianos (em dólares) de trabalhadores homens e mulheres de 10 estados dos EUA em um ano recente. A equação da reta de regressão é y ^ = 0,939x − 6.745,842. (Fonte: U.S. Census Bureau).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos com mais uma seção!

O exercício pede para encontrar o coeficiente de determinação, que é dado por r2, ou seja, precisamos encontrar o coeficiente de correlação dos dados fornecidos e elevá-lo ao quadrado. Para simplificar os cálculos iremos usar o Microsoft Excel para construir a tabela necessária para o uso da formulação:

r = n ∑ x y - ( ∑ x ) ( ∑ y ) n ∑ x 2 - ∑ x 2 ∙ n ∑ y 2 - ∑ y 2

Passo 2

A tabela construída ficou da seguinte forma:

Substituindo os valores na equação. Sabendo que n = 10, teremos:

r = 10 ∙ 15499186175 - 440762 ∙ 346419 10 ∙ 19672430346 - 440762 2 ∙ 10 ∙ 12231604473 - 346419 2 ≅ 0,9677

Passo 3

Item a

A partir do valor de r temos que o coeficiente de determinação é dada por:

r 2 = 0,9677 2 ≅ 0,9364

A interpretação desse resultado consiste em entender que cerca de 93,64% da variação nos salários anuais medianos de trabalhadoras pode ser explicada pela equação de regressão em função dos salários anuais medianos de trabalhadores. Os restantes 6,36% da variação são a parte não explicada e consequência de outros fatores, tais como erro amostral, e outras variáveis não consideradas.

Passo 4

Item b

Com o uso da tabela já construída, torna-se mais interessante utilizar a formulação (Ao invés de construir uma nova tabela com valores de previsão de y e os desvios), como segue:

s e = ∑ y 2 - b ∑ y - m ∑ x y n - 2

Como fora dada a reta de regressão no enunciado, sabemos que b = -6745,842 e que m = 0,939. Daí podemos substituir na equação:

s e = 12231604473 - ( 6745,842 ) ∙ 346419 - 0,939 ∙ 15499186175 10 - 2 ≅ 1358,15

O erro padrão da estimativa dos salários anuais medianos das trabalhadoras, em dólares, é de 1358,15.

*Observação: Se possível façam os cálculos no Excel para minimizar a propagação de erros devido aos arredondamentos.

Resposta

Ver passo a passo.