Encontrando o coeficiente de determinação e o erro padrão da estimativa

Nos exercícios 11 a 20, use os dados para encontrar (a) o coeficiente de determinação r2 e interprete o resultado, e (b) o erro padrão da estimativa se e interprete o resultado.

Árvores

A tabela a seguir mostra a altura (em pés) e o diâmetro dos troncos (em polegadas) de oito árvores. A equação da reta de regressão é y ^ = 0,479x − 24,086.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos com mais uma seção!

O exercício pede para encontrar o coeficiente de determinação, que é dado por r2, ou seja, precisamos encontrar o coeficiente de correlação dos dados fornecidos e elevá-lo ao quadrado. Para simplificar os cálculos iremos usar o Microsoft Excel para construir a tabela necessária para o uso da formulação:

r = n ∑ x y - ( ∑ x ) ( ∑ y ) n ∑ x 2 - ∑ x 2 ∙ n ∑ y 2 - ∑ y 2

Passo 2

A tabela construída ficou da seguinte forma:

Substituindo os valores na equação. Sabendo que n = 8, teremos:

r = 8 ∙ 7937,6 - 615 ∙ 102,2 8 ∙ 47447 - 615 2 ∙ 8 ∙ 1363,44 - 102,2 2 ≅ 0,8194

Passo 3

Item a

A partir do valor de r temos que o coeficiente de determinação é dada por:

r 2 = 0 , 8194 2 ≅ 0 , 6713

A interpretação desse resultado consiste em entender que cerca de 67,13% da variação nos diâmetros dos troncos pode ser explicada pela equação de regressão em função da altura. Os restantes 32,87% da variação são a parte não explicada e consequência de outros fatores, tais como erro amostral, e outras variáveis não consideradas.

Passo 4

Item b

Com o uso da tabela já construída, torna-se mais interessante utilizar a formulação (Ao invés de construir uma nova tabela com valores de previsão de y e os desvios), como segue:

s e = ∑ y 2 - b ∑ y - m ∑ x y n - 2

Como fora dada a reta de regressão no enunciado, sabemos que b = -24,086 e que m = 0,479. Daí podemos substituir na equação:

s e = 1363,44 - ( - 24,086 ) ∙ 102,2 - 0,479 ∙ 7937,6 8 - 2 ≅ 1,95

O erro padrão da estimativa dos diâmetros, em polegadas, é de 1,95.

*Observação: Se possível façam os cálculos no Excel para minimizar a propagação de erros devido aos arredondamentos.

Resposta

Ver passo a passo.