Engenheiros civis acreditam que W, a quantidade de peso (em unidades de toneladas) que certo vão de uma ponte pode suportar sem sofrer danos estruturais seja normalmente distribuído com média 400 e desvio padrão 40. Suponha que o peso (novamente em toneladas) de um carro seja uma variável aleatória com média 3 e desvio padrão 0,3. Aproximadamente quantos carros devem estar sobre a ponte para que a probabilidade de dano estrutural exceda 0,1?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Adotemos W para representar o total de peso (em toneladas) que um certo vão da ponte pode suportar sem nenhum dano estrutural resultante. Assim, temos uma distribuição normal, onde:

μ W = 400   e     σ W = 40

Façamos ainda A n que representará o peso, em toneladas, do enésimo carro e A W o peso total dos n carros, ou seja:

A W = A 1 + A 2 + … + A n

Sabendo que o peso dos carros são variáveis aleatórias com μ A = 3   e     σ A = 0,3 e a média e variância de A W são:

E A W =   n . μ A = 3 n

e

V a r A W =   n . σ A 2 = 0,09 n

Sendo assim a probabilidade de dano estrutural corresponde a:

P A W ≥ W = P { A W - W ≥ 0 }

Devido a independência de A n e entre A W e W temos que:

E A W - W = E A W - E W = 3 n - 400

e

V a r A W - W = V a r A W + V a r W = 0,09 n + 1600

Passo 2

Agora precisamos responder a seguinte questão: Quantos carros poderão passar pelo vão da ponte para que a probabilidade de dano estrutural exceda 0,1? Ou seja, desejamos determinar:

P A W + W ≥ 0 > 0,1

Para calcularmos essa probabilidade usemos o teorema do limite central:

P A W + W ≥ 0 = P A W + W - ( 3 n - 400 ) 0,09 n + 1600 ≥ 400 - 3 n 0,09 n + 1600

Usando a probabilidade complementar, temos:

P A W + W ≥ 0 = 1 - P A W + W - ( 3 n - 400 ) 0,09 n + 1600 < 400 - 3 n 0,09 n + 1600

P A W + W ≥ 0 = 1 - Φ 400 - 3 n 0,09 n + 1600

1 - Φ 400 - 3 n 0,09 n + 1600 > 0,1

Φ 400 - 3 n 0,09 n + 1600 < 0,9

Usando a tabela da curva distribuição normal para Φ Z = 0,9 temos que:

400 - 3 n 0,09 n + 1600 < 1,28

Daí obtemos a seguinte inequação: 9 n 2 - 2400,147456 n + 157378,56 < 0

Cujo a solução se encontra no intervalo n   ∈ ( 116,211   ,   150,472 )

Como n representa o número de carros, vamos considerar o menor valor inteiro pertencente ao intervalo, ou seja, n = 117

Resposta

O número de carros é 117.