Engenheiros civis acreditam que W, a quantidade de peso (em unidades de toneladas) que certo vão de uma ponte pode suportar sem sofrer danos estruturais seja normalmente distribuído com média 400 e desvio padrão 40. Suponha que o peso (novamente em toneladas) de um carro seja uma variável aleatória com média 3 e desvio padrão 0,3. Aproximadamente quantos carros devem estar sobre a ponte para que a probabilidade de dano estrutural exceda 0,1?
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Adotemos W para representar o total de peso (em toneladas) que um certo vão da ponte pode suportar sem nenhum dano estrutural resultante. Assim, temos uma distribuição normal, onde:
Façamos ainda que representará o peso, em toneladas, do enésimo carro e o peso total dos n carros, ou seja:
Sabendo que o peso dos carros são variáveis aleatórias com e a média e variância de são:
e
Sendo assim a probabilidade de dano estrutural corresponde a:
Devido a independência de e entre e W temos que:
e
Passo 2
Agora precisamos responder a seguinte questão: Quantos carros poderão passar pelo vão da ponte para que a probabilidade de dano estrutural exceda 0,1? Ou seja, desejamos determinar:
Para calcularmos essa probabilidade usemos o teorema do limite central:
Usando a probabilidade complementar, temos:
Usando a tabela da curva distribuição normal para temos que:
Daí obtemos a seguinte inequação:
Cujo a solução se encontra no intervalo
Como n representa o número de carros, vamos considerar o menor valor inteiro pertencente ao intervalo, ou seja, n = 117
Resposta
O número de carros é 117.