Escolha aleatoriamente um número X a partir do conjunto de números (1,2,3,4,5) .Escolha agora, do subconjunto formado por números que não são maiores que X, isto é, de {1, ..., X}, um novo número de forma aleatória. Chame de Y este segundo número.

(a) Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y.

(b) Determine a função de probabilidade condicional de X dado Y = i. Faça-o para i = 1,2,3,4,5.

(c) X e Y são independentes? Por quê?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que X   ~   U n i ( 1 , … ,   5 ) . Observe que Y ≤ X quase certamente e que também Y ∈ { 1 , … ,   5 }

A – Para k ≤ l , nós temos que

P Y = k ,   X = l = P Y = k X = l P X = l = 1 l ∙ 1 5

Se k > l , nós temos que P Y = k ,   X = l = 0 .

Passo 2

B – Usando a lei da probabilidade total, nós temos que

P Y = i = ∑ l = i 5 P Y = i ,   X = l = ∑ l = i 5 1 5 l

Agora, para i ≤ l , nós temos que

P X = l Y = i = P Y = i , X = l P Y = i = 1 5 l ∑ i = 1 5 1 5 l  

Passo 3

C – Não, essas variáveis não são independentes. Desde que Y ≤ X , pegue qualquer valor de k maior do que l , portanto P Y = k ,   X = l = 0 . Esse fato junto com o fato que

P Y = k > 0   e   P X = l > 0

Então, temos que

P Y = k ,   X = l ≠ P ( Y = k ) ( X = l )

Então elas não podem ser independentes.

Resposta

a )   P Y = k ,   X = l = 1 5 l

b )   P X = l Y = i =   1 5 l ∑ i = 1 5 1 5 l  

c )   E l a s   n ã o   s ã o   i n d e p e n d e n t e s