A espessura de uma forja de duralumínio (em mm) é normalmente distribuída com μ = 22,86 e σ = 0,0762 . Os limites de especificação foram dados como 22,86 ± 0,127   m m .

(a) Que percentual de forjas será defeituoso?

(b) Qual é o valor máximo permissível de σ que permitirá que não exista mais de 1 forja defeituosa em 100 se as espessuras forem de μ = 22,86 e σ ?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Como estamos falando de V.A (Variáveis aleatórias), nós temos que considerar uma variável para o número de forjas, vamos pensar como X , basicamente, temos a seguinte relação

X   ~   N ( 22,86 ; 0,0762 2 )

Dada essa introdução, vamos calcular a letra a e b

Passo 2

A – O enunciado quer qual percentual de forjas será defeituosa, então traduzindo isso em termos de probabilidade, obtemos

P D e f e i t o = 1 - P ( N ã o   d e f e i t o )

Vamos substituir D por defeito, e N D   por não defeito

P D = 1 - P ( N D )

No caso de P ( N D ) , ela será verdadeira no seguinte intervalo

N D : 22,86 - 0,127 < X < 22,86 + 0,127

Como é uma distribuição normal, podemos usar da seguinte relação

P 22,733 - 22,86 0,0762 < Z < 22,987 - 22,86 0,0762

Como você pode perceber, é algo simétrico, podemos pensar da seguinte forma

P 22,86 - 0,127 < X < 22,86 + 0,127 = 2 ∙ P Z < 1,67 - 1

Passando para tabela, nós temos

P 22,86 - 0,127 < X < 22,86 + 0,127 = 2 ∙ 0,9525 - 1 = 0,905

Agora, é só voltar para a equação do inicio

1 - 0,905 = 0,095

Logo, a porcentagem de forjas defeituosas é igual a 9,5 %

Passo 3

B – Para a letra b, temos que a probabilidade de não ser defeituoso seja igual a 99%, portanto

P 22,733 < X < 22,987 = 0,99

Indo para a distribuição normal, nós temos que

2 P Z < 0,127 σ - 1 = 0,99

Com isso, nós temos que

P Z < 0,127 σ = 1 + 0,99   2 = 0,995

Indo para a tabela da distribuição normal, nós temos que

0,127 σ = 2,58

Portanto,

σ = 0,127 2,58 = 0,0492

Resposta

a )   9,5 %

b )   0,0492