Esporte favorito

Uma pesquisa com adultos americanos descobriu que 8% disseram que seu esporte favorito é corrida de automóvel. Você seleciona aleatoriamente 400 adultos americanos e pede que eles nomeiem seu esporte favorito. Calcule a probabilidade de que o número dos que disseram que corrida de automóvel é seu esporte favorito seja (a) no máximo 40, (b) mais que 50, (c) entre 20 e 30, inclusive, e (d) identifique quaisquer eventos incomuns. Explique. (Fonte: Harris Interactive.)

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

A partir do enunciado do problema, temos que:

n = 400

p = 8 % = 0,08

q = 1 - p = 0,92

Vamos analisar se esses dados satisfazem todos critérios para usarmos a aproximação de uma distribuição normal para uma aproximação binomial, onde n p ≥ 5   e   n q ≥ 5 .

Assim, temos:

n p = 400.0,08 = 32 ≥ 5

n q = 400.0,92 = 368 ≥ 5

Como os critérios foram satisfeitos, podemos então, usar a distribuição normal.

Determinando a média e o desvio padrão, temos:

μ = n p = 32

σ =   n p q = 400.0,08.0,92 = 29,44 = 5,42

Passo 2

(a) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x ≤ 40 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x ≤ 40,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 40,5 - 32 5,42 = 1,57  

Portanto,

P x ≤ 40 =   P x ≤ 40,5 =   P z < 1,57  

Da tabela de distribuição normal, temos que: P z < 1,57 = 0,9418   , assim:

P x ≤ 40 = 0,9418   = 94,18 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 3

(b) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x > 50 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x > 50,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 50,5 - 32 5,42 = 3,41  

Portanto,

P x > 50 = P x > 50,5 =   P z > 3,41 = 1 - P ( z < 3,41 )  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 3,41 = 0,9997   assim:

P x > 50 = 1 - 0,9997   = 0,0003 = 0,03 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 4

(c) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( 20 < x < 30 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( 19,5 < x < 30,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 19,5 - 32 5,42 = - 2,31  

z = x - μ σ = 30,5 - 32 5,42 = - 0,28  

Portanto,

P 20 < x < 30 = P z > - 0,28 - P ( z > - 2,31 )  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z > - 0,28 = 0,3897 e P z > - 2,31 = 0,0104 assim:

P 20 < x < 30 = 0,3897 - 0,0104 = 0,3793 = 37,93 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

(d) O evento (b) é considerado incomum, uma vez que apresenta probabilidade menor que 5%.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

a) 94,18%. Consulte o esboço acima.

b) 0,03%. Consulte o esboço acima.

c) 37,93%. Consulte o esboço acima.

d) Os eventos (b) é incomum, pois apresenta probabilidade menor que 5%.