No Exemplo 8b, faça Y k + 1 = n + 1 - ∑ i = 1 k Y i . Mostre que Y 1 , … , Y k , Y k + 1 são intercambiáveis. Note que Y k + 1 é o número de bolas que alguém deve observar até obter uma bola especial caso seja considerada a ordem de retirada inversa.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Pegando qualquer conjunto de inteiros positivos i 1 , i 2 , … , i k ,   i k + 1 , nós queremos mostrar que

P Y 1 = i j , Y 2 = i j 2 , … ,   Y k = i j k ,   Y k + 1 = i j k + 1

Isto é igual para todas as permutações possíveis de inteiros i 1 , i 2 , … , i k , i k + 1 . Usando a probabilidade condicional para obter que

P Y 1 = i j , Y 2 = i j 2 , … ,   Y k = i j k ,   Y k + 1 = i j k + 1 = P Y k + 1 = i j k + 1 Y 1 = i j 1 , … , Y k = i j k P Y 1 = i j 1 , … , Y k = i j k

Utilizando a notação de somatório, nós temos

= P n + 1 - ∑ i = 1 k Y i = i j k + 1 | Y 1 = i j 1 ,   … , Y k = i j k ∙ P Y 1 = i j 1 , … ,   Y k = i j k

Passo 2

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P Y 1 = i j , Y 2 = i j 2 , … ,   Y k = i j k ,   Y k + 1 = i j k + 1 = P ∑ i 1 k + 1 i i = n + 1 ∙ n ! k ! n - k ! = n ! k ! n - k !

Observe que P ( ∑ i 1 k + 1 i i = n + 1 ) desde que na soma, todos esses números inteiros devem ser iguais a um. Assim, provamos que a expressão acima não depende da permutação de inteiros, portanto, essas variáveis ​​são intercambiáveis.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)