No Exemplo 4a, mostramos que

f x , y = 1 π     0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1

quando V é uniforme em (-1, 1) e U uniforme em (0, 1). Mostre agora que V a r l   -   v 2 1 2 =   V a r l   -   u 2 1 2   e determine seu valor comum.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Usando a fórmula básica para a variância, temos que:

V a r ( 1 - V 2 1 2 = E ( 1 - V 2 ) - E 1 - V 2 1 2 2

Observe que conhecemos a segunda expressão, pois ela é fornecida na tarefa. Nós temos:

E 1 - V 2 1 2 2 = π 2 16

Vamos calcular E ( 1 - V 2 ) . Como V é distribuído uniformemente sobre (-1,1), temos que:

E ( 1 - V 2 ) = ∫ - 1 1 ( 1 - v 2 )   1 2 d v = 2 / 3  

Portanto:

V a r ( 1 - V 2 1 2 = 2 3 - π 2 16

Da mesma forma, vamos fazer o mesmo cálculo para 1 - U 2 1 2 . Nós temos:

V a r ( 1 - U 2 1 2 = E ( 1 - U 2 ) - E 1 - U 2 1 2 2  

Observe que conhecemos a segunda expressão, pois ela é fornecida na tarefa. Nós temos:

E 1 - U 2 1 2 2 = π 2 16

Vamos calcular E ( 1 - U 2 ) . Como U é distribuído uniformemente sobre (0,1), temos que:

E ( 1 - U 2 ) = ∫ 0 1 ( 1 - u 2 ) d u = 2 / 3

Portanto;

V a r ( 1 - U 2 1 2 = 2 3 - π 2 16

então provamos que:

V a r ( 1 - V 2 1 2 = V a r ( 1 - U 2 1 2 = 2 3 - π 2 16

Resposta

π 2 16 .