Enunciado

No Exemplo 2c, simulamos o valor absoluto de uma variável aleatória normal unitária usando o método da rejeição baseado em variáveis aleatórias exponenciais com taxa 1. Isso suscita a pergunta: seria possível ou não obter um algoritmo mais eficiente usando uma densidade exponencial diferente - isto é, poderíamos usar a densidade g ( x )   = λ e - λ x . Mostre que o número médio de iterações necessárias no esquema de rejeição é minimizado quando λ = 1 .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Estamos usando o método de rejeição onde;

f ( x ) = 2 2 π   e - x 2 2

e

g ( x ) = λ   e - λ x

o que implica em:

f x g x = 1 λ 2 π e x p - x 2 - 2 λ x 2

f x g x = 1 λ 2 π e x p - x 2 - 2 λ x 2 + λ 2 2

f x g x = e λ 2 2 λ 2 π e x p - x 2 - 2 λ x 2

< e λ 2 2 λ 2 π

Então, podemos tomar o seguinte:

c = e λ 2 2 λ 2 π

Vamos provar que c tem valor mínimo quando λ = 1 .   Por diferenciação, temos que:

d c d λ = 2 π e λ 2 2 λ 2 - 1 λ 2

então vemos que d c d λ = 0 se e somente se λ = ±   1 .   Assim, provamos que c é mínimo para λ = 1 , portanto leva o tempo mínimo (em média) para obter o valor de aceitação.

Resposta

Veja solução.