No Exemplo 6b, suponha que S represente o sinal enviado e R, o sinal recebido.

(a) Calcule E[R];

(b) Calcule Var(R);

(c) R é normalmente distribuída?

(d) Calcule Cov(R, S).

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Nós temos, do exemplo 6b, que o sinal é enviado do ponto A, de acordo com uma distribuição S ~ N ( μ , σ ² ). Quando chega ao ponto B, o mínimo erro ɛ pode influenciar o sinal original. Logo, vamos deduzir que o sinal recebido S pode ser escrito como:

R = S +   ε

Sendo ε ~ N ( 0 , 1 ) . O sinal que é enviado é independente do erro.

(a) Para determinar o valor de E[R], temos:

E R = E S + E ε =   μ

(b) Devido à independência, a variância Var[R] é dada por:

V a r R = V a r S + V a r ε =   σ 2 + 1

(c) Nós vimos que R pode ser escrito como a soma de duas variáveis aleatórias com distribuição normal independentes. Então, sim, R é distribuída normalmente de acordo com:

R ~ N ( μ , σ 2 + 1 )

(d) Calculando a covariância, temos:

C o v R , S = C o v S + ε , S = V a r S + C o v ε , S

Como ɛ e S são independentes então C o v ε , S = 0 . Assim:

C o v R , S = V a r S =   σ 2

Resposta

(a) E R =   μ

(b)

V a r R =   σ 2 + 1

(c) S i m !       R ~ N ( μ , σ 2 + 1 )

(d)

C o v R , S =   σ 2