No Exemplo 6c, suponha que X seja uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, 1). Se as regiões discretizadas são determinadas por a 0   =   0 ,   a 1 = 1 2   e   a 2 = 1 calcule o quantizador ótimo Y e determine E[(X- Y)²].

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Do enunciado temos que:

a 0   =   0 ,   a 1 = 1 2   e   a 2 = 1

Se X é dada por uma distribuição uniforme, ou seja, X ~ U ( 0 , 1 ) então:

F x X = x ,   0 < x < 1

Y = y 0 ,   0 < x ≤ 1 2

Y = y 1 , 1 2 < x ≤ 1

Assim, temos que:

P Y = y 0 = F X 1 2 - F X ( 0 )

P Y = y 0 =   ∫ 0 1 2 d x - ∫ 0 0 d x = 1 2 - 0 = 1 2

De modo semelhante:

P Y = y 1 = F X 1 - F X 1 2

P Y = y 1 =   ∫ 0 1 d x - ∫ 0 1 2 d x = 1 - 1 2 = 1 2

Temos então que: V a r Y = 0 ,     P Y = y 0 = 1 2   ,   P Y = y 1 = 1 2

Passo 2

Vamos agora determinar y 0 , y 1 :

y 0 = E [ X I = 0 ] =   ∫ 0 1 2 x 1 2 d x   = ∫ 0 1 2 2 x d x = 1 4  

y 1 = E [ X I = 1 ] =   ∫ 1 2 1 x 1 2 d x   = ∫ 1 2 1 2 x d x = 3 4  

Assim, temos que:

P Y = 1 4 = P Y = 3 4 = 1 2

E ainda que:

V a r Y = 0     e   V a r X = 4 - 3 12 = 1 12  

Portanto:

E X - Y 2 = V a r X - V a r Y = 1 12 - 0 = 1 12

Resposta

E ( X - Y 2 ] =   1 12