Nos exercícios 21 a 25, calcule as probabilidades indicadas usando a distribuição geométrica, a de Poisson ou a binomial. Depois, determine se os eventos são incomuns. Se for conveniente, utilize uma tabela ou tecnologia para determinar as probabilidades.

Em um período de 12 anos, tubarões mataram em média 5 pessoas por ano em todo o mundo. Determine a probabilidade de que o número de pessoas mortas por tubarões no próximo ano seja (a) exatamente três, (b) mais que seis e (c) no máximo cinco. (Fonte: International Shark Attack File.)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Antes de começarmos, temos que ter em mente que aqui para resolvermos o nosso exercício vamos construir a distribuição de probabilidade binominal, e para isso vamos usar a fórmula:

P x = μ x e - μ x !

Show, pelo enunciado, vamos ver que:

μ = 5

x = 3

e = 2,718

Calculando:

P 3 = 5 3 ( 2,718 ) - 5 3 !

P 3 = 0,140

Portanto, podemos afirmar que a probabilidade de que o número de pessoas mortas por tubarões no próximo ano seja exatamente 3 é 0,140 .

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). Aqui vamos calcular a probabilidade de mais de 6 pessoas sejam mortas por tubarões. Mas antes, vamos ver aqui como que vamos fazer essa conta

Bom, para isso vamos definir:

P x > 6 → p r o b a b i l i d a d e   d e   m a i s   d e   6   p e s s o a s   s e r e m   m o r t a s

P x ≤ 6 → p r o b a b i l i d a d e   d e   m e n o s   d e   6   p e s s o a s   s e r e m   m o r t a s

Se a gente somar as duas probabilidades, nós vamos ter 100 % :

P x > 6 + P x ≤ 6 = 1

Como nós queremos a probabilidade de mais de 6 pessoas serem mortas por tubarões:

P x > 6 = 1 - P x ≤ 6

E agora na verdade nós vamos calcular a probabilidade de ATÉ 6 pessoas serem mortas por tubarões.

“Ah, mas por que precisamos fazer assim?” Bom, importante lembrar que se a gente for calcular a probabilidade de mais de 6 pessoas serem mortas de forma direta, nós teríamos que calcular a probabilidade para TODOS os números maiores que 6, ou seja, até o infinito. Logo, não seria possível.

Show, e como vamos calcular a probabilidade de ATÉ 6 pessoas serem mortas por tubarões?

P x ≤ 6 = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P ( 6 )

Então temos que calcular a probabilidade de cada caso.

Passo 3

Vamos calcular:

μ = 5

e = 2,718

P x = 5 x ( 2,718 ) - 5 x !

Substituindo:

P 0 = 5 0 ( 2,718 ) - 5 0 ! = 0,0067

P 1 = 5 1 ( 2,718 ) - 5 1 ! = 0,0 33 7

P 2 = 5 2 ( 2,718 ) - 5 2 ! = 0,0 842

P 3 = 5 3 ( 2,718 ) - 5 3 ! = 0 , 14 0 4

P 4 = 5 4 ( 2,718 ) - 5 4 ! = 0 , 1 7 55

P 5 = 5 5 ( 2,718 ) - 5 5 ! = 0 , 1755

P 6 = 5 6 ( 2,718 ) - 5 6 ! = 0 , 14 6 2

E com essas informações nós vamos conseguir calcular o que pede no enunciado:

P x > 6 = 1 - P x ≤ 6

P x ≤ 6 = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P ( 6 )

Substituindo nas fórmulas:

P x > 6 = 1 - ( P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 )

P x > 6 = 1 - ( 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404 + 0,1755 + 0,1755 + 0,1462 )

P x > 6 = 0,238

Portanto, podemos afirmar que a probabilidade de que o número de pessoas mortas por tubarões no próximo ano seja maior que 6 é 0 , 238 .

Passo 4

Show, agora vamos para a letra (c). Aqui vamos calcular a probabilidade de no máximo 5 pessoas sejam mortas por tubarões.

Bom, para isso vamos definir:

P x ≤ 5 → p r o b a b i l i d a d e   d e   n o   m á x i m o   5   p e s s o a s   s e r e m   m o r t a s

P x ≤ 5 = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5

Para a nossa sorte, nós já calculamos todas essas probabilidades no Passo 3:

P 0 = 0,0067

P 1 = 0,0337

P 2 = 0,0842

P 3 = 0,1404

P 4 = 0,1755

P 5 = 0,1755

Substituindo:

P x ≤ 5 = ( 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404 + 0,1755 + 0,1755 + 0,1462 )

P x ≤ 5 = 0,616

Portanto, podemos afirmar que a probabilidade de que o número de pessoas mortas por tubarões no próximo ano seja no máximo 5 é 0 , 616 .

Resposta

a )   P 3 = 0,140

b )   P x > 6 = 0,238

c )   P x ≤ 5 = 0,616