Nos exercícios 3 a 6, determine se uma distribuição amostral normal pode ser usada. Se possível, teste a afirmação sobre a diferença entre duas proporções populacionais p 1 e p 2 ao nível de significância α . Suponha que as amostras são aleatórias e independentes.

Afirmação: p 1 = p 2 ; α = 0 , 10

Estatísticas amostrais: x 1 = 4 2 , n 1 = 150   e   x 2 = 7 6 ,   n 2 = 200

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A afirmação é a hipótese nula ou a hipótese alternativa. A hipótese nula e a hipótese alternativa afirmam o oposto uma da outra. A hipótese nula precisa conter o valor mencionado na reivindicação.

H 0 : p 1 ≥ p 2

H a : p 1 < p 2

Determine as proporções da amostra. A proporção da amostra é o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra

p ^ 1 = x 1 n 1 = 4 2 150 = 0 , 28

p ^ 2 = x 2 n 2 = 76 200 = 0 , 38

p ¯ = x 1 + x 2 n 1 + n 2 = 42 + 7 6 150 + 200 = 0 , 3371

E

q ¯ = 1 - p ¯ = 1 - 0 , 3371 = 0 , 6629

Com isso, os valores

n 1 p ¯ = 150 ∙ 0 , 3371 = 50,565

n 2 p ¯ = 200 ∙ 0 , 3371 = 62,42

n 1 q ¯ = 150 ∙ 0,6629 = 99,435

n 2 q ¯ = 200 ∙ 0,3256 = 132,58

Os valores de n 1 p ¯ , n 2 p ¯ , n 1 q ¯ , n 2 q ¯ devem ser pelo menos 5, então a condição é satisfeita!

Passo 2

Os valores críticos podem ser encontrados na tabela 4, correspondente a probabilidade de 0,0 5 ; 0,95  

z = ± 1 , 645

A região de rejeição contém todos os valores menores que - 1 , 645 e todos os valores maiores que 1,645 , com isso, determinando o valor do teste estatístico:

z = p ^ 1 - p ^ 2 p ¯ 1 - p ¯ 1 n 1 + 1 n 2

Substituindo os valores, nós temos que

z = 0 , 28 - 0 , 38 0 , 3371 1 - 0 , 3371 1 150 + 1 200

O que nos fornece aproximadamente

z ≈ - 1,96

Se o valor da estatística de teste estiver dentro da região de rejeição, nós iremos rejeitar a hipótese nula H 0

- 1,96 < - 1,645 → H 0   r e j e i t a d o

Há evidência suficiente para apoiar a alegação.

Resposta

Há evidência suficiente para apoiar a alegação.