Nos exercícios 3 a 6, determine se uma distribuição amostral normal pode ser usada. Se possível, teste a afirmação sobre a diferença entre duas proporções populacionais p 1 e p 2 ao nível de significância α . Suponha que as amostras são aleatórias e independentes.

4. Afirmação: p 1 < p 2 ; α = 0,05

Estatísticas amostrais: x 1 = 471 , n 1 = 785   e   x 2 = 372 ,   n 2 = 465

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A afirmação é a hipótese nula ou a hipótese alternativa. A hipótese nula e a hipótese alternativa afirmam o oposto uma da outra. A hipótese nula precisa conter o valor mencionado na reivindicação.

H 0 : p 1 ≥ p 2

H a : p 1 < p 2

Determine as proporções da amostra. A proporção da amostra é o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra

p ^ 1 = x 1 n 1 = 471 785 = 0 , 6

p ^ 2 = x 2 n 2 = 372 465 = 0 , 8

p ¯ = x 1 + x 2 n 1 + n 2 = 471 + 372 7 85 + 465 = 0 , 6744

E

q ¯ = 1 - p ¯ = 1 - 0 , 6744 = 0 , 3256

Com isso, os valores

n 1 p ¯ = 7 85 ∙ 0 , 6744 = 529,404

n 2 p ¯ = 465 ∙ 0 , 6744 = 313,596

n 1 q ¯ = 7 85 ∙ 0,3256 = 255,596

n 2 q ¯ = 465 ∙ 0 , 3256 = 151,404

Os valores de n 1 p ¯ , n 2 p ¯ , n 1 q ¯ , n 2 q ¯ devem ser pelo menos 5, então a condição é satisfeita!

Passo 2

Os valores críticos podem ser encontrados na tabela 4, correspondente a probabilidade de 0,0 25

z = - 1,96

A região de rejeição contém todos os valores menores que - 1,96 , com isso, determinando o valor do teste estatístico:

z = p ^ 1 - p ^ 2 p ¯ 1 - p ¯ 1 n 1 + 1 n 2

Substituindo os valores, nós temos que

z = 0 , 6 - 0 , 8 0 , 6477 1 - 0 , 6744 1 7 85 + 1 465

O que nos fornece aproximadamente

z ≈ - 7,29

Se o valor da estatística de teste estiver dentro da região de rejeição, nós iremos rejeitar a hipótese nula H 0

- 7 , 29 < - 1 , 96 → H 0   r e j e i t a d o

Há evidência suficiente para apoiar a alegação.

Resposta

Há evidência suficiente para apoiar a alegação.