Nos exercícios 5 a 8, (a) determine a frequência esperada para cada célula na tabela de contingência, (b) identifique a afirmação e formule H0 e Ha , (c) determine os graus de liberdade, determine o valor crítico e identifique a região de rejeição, (d) calcule a estatística de teste qui-quadrado, (e) decida se rejeita ou não a hipótese nula e (f) interprete a decisão no contexto da afirmação original. Se for conveniente, use tecnologia.

A tabela de contingência a seguir mostra a distribuição de uma amostra aleatória de colisões fatais de veículos, por hora do dia e gênero, em um ano recente. Com a = 0,10, você pode concluir que a hora do dia e o gênero estão relacionados? (Adaptado de: National Highway Traffic Safety Administration.)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a)

Aqui vamos calcular a frequência esperada para cada célula na tabela. Para isso, vamos usar a fórmula

E r , c = s o m a   d a   l i n h a   r s o m a   d a   c o l u n a   c t a m a n h o   d a   a m o s t r a

Se a gente pegar a nossa tabela,

Vamos começar a calcular cada uma:

E 1 , 1 = 657 + 591 + 905 + 940 657 + 260 4810 = 589 , 66

E 1 , 2 = 657 + 591 + 905 + 940 591 + 358 4810 = 610 , 24

E 1 , 3 = 657 + 591 + 905 + 940 905 + 585 4810 = 958 , 12

E 1 , 4 = 657 + 591 + 905 + 940 940 + 5 1 4 4810 = 934 , 97

E 2 , 1 = 110 + 73 + 61 + 4 657 + 260 4810 = 327 , 34

E 2 , 2 = 110 + 73 + 61 + 4 591 + 358 4810 = 338 , 76

E 2 , 3 = 110 + 73 + 61 + 4 905 + 585 4810 = 531 , 87

E 2 , 4 = 110 + 73 + 61 + 4 940 + 514 4810 = 5 19 , 02

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). Para formularmos as hipóteses, basta escrever de acordo com as variáveis do problema.

As hipóteses para o teste de independência são:

H 0 : a   o c o r r ê n c i a   d e   c o l i s õ e s   f a t a i s   e m   q u a l q u e r   h o r a   d o   d i a   é   i n d e p e n d e n t e   d o g ê n e r o

H a : a   o c o r r ê n c i a   d e   c o l i s õ e s   f a t a i s   e m   q u a l q u e r   h o r a   d o   d i a   é   d e p e n d e n t e   d o g ê n e r o

Passo 3

Agora vamos para a letra (c). O grau de liberdade é determinado de acordo com o número de linhas (r) e o número de colunas (c).

Logo, teremos:

g . l = ( r - 1 ) ( c - 1 )

g . l = 2 - 1 4 - 1 = 3

Com o nível de significância de 10% e 3 graus de liberdade, o valor crítico será X 2 = 6 , 2 51 e a região crítica será X 0 2 > 6 , 2 51 .

Passo 4

Agora vamos para a letra (d). A estatística de teste será calculada com as frequências esperadas calculadas no Passo 1 e observadas que estão presentes na tabela.

E 1,1 = 589,66

E 1,2 = 610,24

E 1,3 = 958,12

E 1,4 = 934,97

E 2,1 = 327,34

E 2,2 = 338,76

E 2,3 = 531,87

E 2,4 = 519,02

Vamos calcular usando a fórmula:

X 0 2 = ∑ O - E 2 E

Usando a frequência esperada calculada com o valor da tabela de acordo com a coordenada da frequência esperada, somando tudo vamos encontrar:

X 0 2 = ( 657 - 589 , 66 ) ² 589 , 66 + 591 - 610 , 24 2 610 , 24 + 905 - 958 , 1 2 2 958 , 1 2 + … + 514 - 519 , 02 2 5 1 9 , 02

X 0 2 = 31 , 5 71

Portanto, a estatística de teste resulta em 31 , 571 .

Passo 5

Show, vamos para a letra (e). Para decidir se rejeitamos H 0 , basta verificar se a estatística de teste pertence a região crítica.

E s t a t í s t i c a   d e   T e s t e : X 0 2 = 31 , 571

R e g i ã o   C r í t i c a :   X 0 2 > 6 , 2 51

Como X 0 2 > 13 , 277 ,   l o g o   r e j e i t a m o s   H 0

Passo 6

Por fim, vamos para a letra (f). Para interpretarmos a decisão, vamos usar as informações que encontramos no exercício.

Portanto, há evidências suficientes, ao nível de 10% de significância, para aceitarmos a afirmação de que a ocorrência de colisões fatais em qualquer hora do dia é dependente do gênero.

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o