Nos exercícios 21 e 22, (a) identifique a afirmação e formule H0 e Ha , (b) determine o valor crítico e identifique a região de rejeição, (c) calcule a estatística de teste F, (d) decida se rejeita ou não rejeita a hipótese nula e (e) interprete a decisão no contexto da afirmação original. Suponha que as amostras são aleatórias e independentes, as populações normalmente distribuídas e as variâncias populacionais são iguais. Se for conveniente, use tecnologia.

A tabela a seguir mostra os rendimentos anuais (em dólares) para amostras de famílias de quatro regiões dos Estados Unidos. Para a = 0,05, você pode concluir que o rendimento médio anual das famílias é diferente em pelo menos uma das regiões? (Adaptado de: U.S. Census Bureau.)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começar pela letra (a):

Para elaborar as hipóteses, precisamos identificar as afirmações sobre as variâncias informadas no exercício. Dessa forma, as hipóteses do teste serão:

H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4

H a : p e l o   m e n o s   u m a   m é d i a   é   d i f e r e n t e

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). O exercício já nos informou tanto o nível de significância quanto os graus de liberdade do denominador e numerador. Logo, basta encontrar o valor crítico na tabela F.

Por inspeção, o valor crítico será F 0,0 5 ; 11 ; 1 1 = 3 , 10 e a região crítica F 0 > 3 , 10 .

Passo 3

Show, agora vamos para a letra (c). Primeiramente, devemos calcular as médias de cada grupo:

x - N o r d e s t e = ( 78123 + 69388 + 78251 + 54379 + 75210 ) 5 = 71070 , 2

x - C e n t r o - O e s t e = ( 54930 + 78543 + 76602 + 57357 + 54907 + 70119 + 36833 ) 7 = 61327 , 3

x - S u l = ( 52623 + 7 6 365 + 4066 8 + 5 0 37 3 + 38536 + 63073 ) 6 = 53606 , 3

x - O e s t e = ( 70496 + 62904 + 59113 + 57191 + 60668 + 60415 ) 6 = 61797 , 8

Ok, médias calculadas. Com elas, vamos agora calcular as variâncias. Para isso, vamos a fórmula:

s 2 = ∑ x i - x - 2 n - 1

Aonde x i é um dos dados da tabela e n o número total de dados:

s ² N o r d e s t e = 78123 - 71070 , 2 2 + … + 75210 - 71070 , 2 2 4 = 99.967.443,7

s ² C e n t r o - O e s t e = 54930 - 61327 , 3 2 + … + 36833 - 61327,3 2 6 = 217.478.414,9

s ² S u l = 5 2623 - 53606,3 2 + … + 63073 - 53606 , 3 2 5 = 2 02 . 702 . 298 , 3

s ² O e s t e = 70496 - 61797 , 8 2 + … + 60415 - 61797,8 2 5 = 2 1 . 7 0 0 . 340 , 6

E finalmente, com as variâncias calculadas, a gente consegue calcular a estatística de teste:

F = 1,96

Passo 4

Show, agora vamos para a letra (d). Para concluirmos o teste, basta utilizar os dados obtidos nas partes (b) e (c).

F 0,10 ; 20 ; 15 = 3 , 10

F = 1 , 9 6

Perceba que 1 , 9 6 < 3 , 10 , logo não podemos rejeitar H 0 .

Passo 5

Por fim, vamos para a letra (e). Vamos concluir a resolução do problema

Portanto, não há evidências, supondo 5% de significância, que pelo menos um rendimento médio anual por região é diferente das demais.

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o