Nos exercícios 13 a 24, suponha que a amostra é de uma população normalmente distribuída e construa os intervalos de confiança indicados para (a) a variância da população s² e (b) o desvio padrão da população s. Interprete os resultados.

13. Parafusos

Os diâmetros (em polegadas) de 17 parafusos, produzidos por uma máquina e selecionados aleatoriamente, estão listados a seguir. Use um nível de confiança de 95%.

4,477 4,425 4,034 4,317 4,003 3,760 3,818 3,749 4,240

3,941 4,131 4,545 3,958 3,741 3,859 3,816 4,448.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos começar determinando o desvio padrão da amostra que é dado pela fórmula:

s =   ∑ x i - x - 2 n - 1

Determinando a média, que é a soma de todos os dados dividido pela quantidade de valores, temos: x - = 4,074 . Em seguida, o somatório do quadrado dos desvios será dado por ∑ x i - x - 2 = 1,268 . Assim o desvio padrão será:

s =   1,268 17 - 1 = 0,2816

O grau de liberdade é dado por g . l . = n - 1 = 17 - 1 = 16 .

As áreas à direita de X R 2 e X L 2 são dados por:

X R 2 = 1 - c 2 = 1 - 0 , 9 5 2 = 0 , 0 25

X L 2 = 1 + c 2 = 1 + 0 , 9 5 2 = 0 , 9 75

Usando o grau de liberdade e os valores encontrados das áreas e consultado a tabela da distribuição qui-quadrado, obtemos os seguintes valores críticos:

X R 2 = 28,845

X L 2 = 6,908

Agora podemos determinar os intervalos de confiança, que serão dados por:

(a) Para o desvio padrão teremos o seguinte intervalo:

L i m i t e   i n f e r i o r =   n - 1 X R 2 . s = 17 - 1 28,845   . 0,2816 ≈ 0,210

L i m i t e   s u p e r i o r =   n - 1 X L 2 . s = 17 - 1 6,908   . 0,2816 ≈ 0,429

(b) O intervalo de confiança para a variância será o quadrado do intervalo para o desvio padrão, assim:

L i m i t e   i n f e r i o r = 0,210 2 = 0,044

L i m i t e   s u p e r i o r = 0,429 2 = 0,184

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Desvio padrão: (0,210;0,429).

Variância: (0,044;0,184).