Existem cupons de desconto de n tipos. Independentemente dos tipos de cupons recolhidos previamente, cada novo cupom recolhido tem probabilidade p i ,   ∑ i = 1 k p i = 1 . de ser do tipo i. Se n cupons são recolhidos, determine o número esperado de tipos distintos neste conjunto (isto é, determine o número esperado de tipos de cupons que aparecem pelo menos uma vez no conjunto de n cupons).

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Definimos as variáveis aleatórias do indicador e u j ,   j = 1 ,   … , para que marca se j o tipo de cupom aparece na amostra de n cupons ou não.

Nós temos que:

P ( e u j = 1 ) = 1 - P ( e u j = 0 ) = 1 - 1 - p j n

desde o evento e u j = 0 nos diz que todos os cupons na amostra são de algum tipo e não j o tipo. se nós marcarmos N = ∑ j e u j , é exatamente o número de tipos de cupons que aparece na amostra.

Usando a linearidade da expectativa, obtemos que:

E ( N ) = ∑ j   E I j = ∑ j   P e u j = 1 = ∑ j ( 1 - 1 - p j n )

Resposta

Considere variáveis aleatórias indicadoras para cada tipo de cupom. O número necessário é de: ∑ j ( 1 - 1 - p j n ) .